La phi_n være den ordinært normaliserte nte energien egenfunksjonen til den harmoniske oscillatoren, og la psi = hatahata ^ (†) phi_n. Hva er psi lik?

Tenk på harmonisk oscillator Hamiltonian …

#hatH = hatp ^ 2 / (2mu) + 1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2 #

# = 1 / (2mu) (hat ^ 2 + mu ^ 2ega ^ 2 hatx ^ 2) #

Definer nå substitusjonen:

#hatx "'" = hatxsqrt (muomega) ##' '' '' '##hatp "'" = hat / sqrt (muomega) #

Dette gir:

# hatH = 1 / (2mu) (hat "" ^ 2 cdot muomega + mu ^ 2omega ^ 2 (hatx "'^ 2) / (muomega)) #

# = omega / 2 (hatp "'" ^ 2 + hatx "'" ^ 2) #

Tenk deretter på substitusjonen der:

#hatx "''" = (hatx "'") / sqrt (ℏ) ##' '' '' '##hatp "''" = (hatp "'") / sqrt (ℏ) #

så det # hatx "hat" "" hat "" "hat" "" "" hat ". Dette gir:

#hatH = omega / 2 (hatp''' ^ 2cdotℏ + hatx'''' ^ 2cdotℏ) #

# = 1 / 2ℏomega (hatp'''' ^ 2 + hatx'''' ^ 2) #

Siden #hatp " ''" ^ 2 # og #hatx " ''" ^ 2 # kan bli fakturert i et produkt av komplekse konjugater, definere stigeoperatørene

#hata = (hatx "''" + ihatp "''") / sqrt2 ##' '' '' '## hata ^ (†) = (hatx "''" - ihatp "''") / sqrt2 #

så det:

# hatahata ^ (†) = (hatx'''''2 - ihatx''''hatp''''hathat''''hatx'''''hatt''''' ^ 2) / 2 #

# 2 (Hatt "", "Hatt", "Hatt", "2" / 2 +

Siden # - hatx '' '", hatp"' '" = hatp"' '", hatx"' '" = -i #, høyre side er #1/2#. Ved inspeksjon,

#hatH = ℏomega (hatahata ^ (†) - 1/2) #

Det kan bli vist som # hata, hata ^ (†) = 1 #, så

# hatahata ^ (†) - hata ^ (†) hata = 1 #

# => hatahata ^ (†) = 1 + hata ^ (†) hata #

og så:

#color (grønn) (hatH = ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2)) #

Her gjenkjenner vi form av energi å være:

#E_n = ℏomega (n + 1/2) #

siden det er klart fra dette skjemaet at med

#hatHphi_n = Ephi_n #,

vi har bare det

# ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2) phi_n = ℏomega (n + 1/2) phi_n #

Dermed er det nummeroperatør kan defineres som:

#hatN = hata ^ (†) hata #

hvis egenverdien er kvante nummeret # N # for den egenstate.

Derfor

#color (blå) (psi_n = hatahata ^ (†) phi_n) #

# = (1 + hata ^ (†) hata) phi_n #

# = (1 + hatN) phi_n #

# = farge (blå) ((1 + n) phi_n) #