Hva er ekstremiteten av f (x) = 3x-1 / sinx på [pi / 2, (3pi) / 4]?

Svar:

Det absolutte minimumet på domenet skjer ved ca. # (pi / 2, 3,7124) #, og den absolutte maks på domenet oppstår ved ca. # (3pi / 4, 5,65444) #. Det er ingen lokal ekstrem.

Forklaring:

Før vi begynner, krever det oss å analysere og se om #sin x # tar på seg en verdi på #0# når som helst på intervallet. #sin x # er null for alle x slik som #x = npi #. # Pi / 2 # og # 3n / 4 # er begge mindre enn # Pi # og større enn # 0pi = 0 #; og dermed, #sin x # tar ikke en verdi på null her.

For å bestemme dette, husk at en ekstrem forekommer enten hvor #f '(x) = 0 # (kritiske punkter) eller ved en av endepunktene. Dette tar i betraktning vi avledet av ovenstående f (x), og finner poeng hvor dette derivatet er 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx)

Hvordan skal vi løse dette siste semesteret?

Tenk kort på gjensidig regel, som ble utviklet for å håndtere situasjoner som vår siste periode her, # d / (dx) (1 / sin x) #. Den gjensidige regelen tillater oss å omgå direkte ved hjelp av kjede- eller kvotientregelen ved å angi at det er gitt en differensierbar funksjon #G (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

når #g (x)! = 0 #

Tilbake til vår hovedligning ga vi avsted;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Siden #sin (x) # er differentiable, kan vi gjelde gjensidig regel her:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Setter dette til 0, kommer vi til:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Dette kan bare skje når #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Herfra kan det hende at vi skal bruke en av de trigonometriske definisjonene, spesielt # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Dette ligner et polynom, med #cos x # erstatter vår tradisjonelle x. Dermed erklærer vi #cos x = u # og…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Bruk den kvadratiske formelen her …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Våre røtter foregår på #u = (1 + -sqrt37) / 6 # i følge dette. Imidlertid er en av disse røttene (# (1 + sqrt37) / 6 #) kan ikke være en rot for #cos x # fordi roten er større enn 1 og # -1 <= cosx <= 1 # for alle x. Vår andre rot, derimot, beregnes som omtrentlig #-.847127#. Dette er imidlertid mindre enn minimumsverdien #cos x # funksjon kan på intervallet (siden #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -707 <-847127 #. Og dermed, Det er ikke noe kritisk punkt i domenet.

Dette i tankene må vi gå tilbake til våre endepunkter og sette dem inn i den opprinnelige funksjonen. Dette gjør vi #f (pi / 2) ca 3,7124, f (3pi / 4) ca 5,66544 #

Dermed er vårt absolutte minimum på domenet omtrent # (pi / 2, 3,7124), # og vårt maksimum er omtrent # (3pi / 4, 5,65444) #