Hva er derivatet av f (x) = ln (sin ^ -1 (x))?

En side kommentar å begynne med: notasjonen # Sin ^ -1 # for den inverse sinusfunksjonen (mer eksplisitt, den inverse funksjonen av begrensningen av sinus til # - pi / 2, pi / 2 #) er utbredt, men misvisende. Faktisk er standardkonvensjonen for eksponenter ved bruk av trig-funksjoner (f.eks. # sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 # antyder det #sin ^ (- 1) x # er # (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x) #. Selvfølgelig er det ikke, men notasjonen er veldig misvisende. Den alternative (og ofte brukte) notasjonen #arcsin x # er mye bedre.

Nå for derivatet. Dette er et kompositt, så vi vil bruke kjederegelen. Vi trenger # (ln x) '= 1 / x # (se beregning av logaritmer) og # (arcsin x) '= 1 / sqrt (1-x ^ 2) # (se kalkulator for inverse trig-funksjoner).

Bruk av kjederegelen:

# (ln (arcsin x)) = 1 / arcsin x times (arcsin x) '= 1 / (arcsin x sqrt (1-x ^ 2)) #.

Hva er det første derivatet og det andre derivatet av 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(det første derivatet)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (-2/3) (- x ^ -1 + 1) "(det andre derivatet)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1/3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4/3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(det første derivatet)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1/3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) x ^ -1 + 1) "(det andre derivatet)"

Hva er det andre derivatet av x / (x-1) og det første derivatet av 2 / x?

Spørsmål 1 Hvis f (x) = (g (x)) / (h (x)) så av kvotientregelen f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h (x)) / ((g (x)) ^ 2) Så hvis f (x) = x / (x-1) så er det første derivatet f '(x) = ((1) (x-1) (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2) og det andre derivatet er f '' (x) = 2x ^ -3 Spørsmål 2 Hvis f (x) = 2 / x Dette kan skrives om som f (x) = 2x ^ -1 og bruker standardprosedyrer for å ta derivatet f '(x) = -2x ^ -2 eller, hvis du foretrekker f' (x) = - 2 / x ^ 2

Hva er det første derivatet og det andre derivatet av x ^ 4 - 1?

F ^ '(x) = 4x ^ 3 f ^' (x) = 12x ^ 2 for å finne det første derivatet må vi bare bruke tre regler: 1. Strømregel d / dx x ^ n = nx ^ (n-1 ) 2. Konstant regel d / dx (c) = 0 (hvor c er et heltall og ikke en variabel) 3. Sum og differanse regelen d / dx [f (x) + - g (x)] = [f ^ ' (x) + - g ^ '(x)] det første derivatet resulterer i: 4x ^ 3-0 som forenkler til 4x ^ 3 for å finne det andre derivatet, må vi avlede det første derivatet ved å igjen bruke kraftregelen som resulterer i : 12x ^ 3 du kan fortsette hvis du vil: tredje derivat = 36x ^ 2 fjerde derivat = 72x fe