![Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) på intervallet x, y i [-pi, pi]?](https://img.go-homework.com/img/calculus/what-are-the-extrema-and-saddle-points-of-fxy-2x3-xy2-5x2-y2-1.jpg "Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) på intervallet x, y i [-pi, pi]?")
Svar:
Forklaring:
Vi har:
# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #
# = -6sinxsin ^ 2y #
Trinn 2 - Identifiser kritiske poeng
Et kritisk punkt oppstår ved en samtidig løsning av
# f_x = f_y = 0 iff (delvis f) / (delvis x) = (delvis f) / (delvis y) = 0 #
dvs. når:
# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # samtidig
Betrakt ligning A
# -6cosxsin ^ 2y = 0 #
Da har vi to løsninger:
# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #
# sin y = 0 => y = 0, + - pi #
La oss nå bruke Eq B for å finne den tilsvarende koordinaten:
# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #
# = = 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #
# y = 0, + - pi => x i RR # (rennene)
Som gir oss følgende kritiske punkter:
# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 kritiske punkter)
# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 kritiske punkter)
# (alfa, 0) AA alfa i RR # (rennelinje)
# (alfa, + -pi) AA alfa i RR # (2 gutter linjer)
Vurder ligningen B
# -6sinxsin2y = 0 #
Da har vi to løsninger:
# sinx = 0 => x = 0, + - pi #
# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #
# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #
La oss nå bruke Eq A for å finne den tilsvarende koordinaten @
# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (gjentatte ganger)
# y = 0 => x i RR # (gjenta ovenfor)
# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #
# => x = + - pi / 2 # (gjentatte ganger)
Som gir oss ingen ekstra kritiske poeng:
Trinn 3 - Klassifiser de kritiske punktene
For å klassifisere de kritiske punktene utfører vi en test som ligner den for en variabel kalkulasjon ved hjelp av de andre partielle derivatene og Hessian Matrix.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (xx) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | (delvis ^ 2 f) / (delvis x 2), (delvis ^ 2 f) / (delvis x delvis y)), ((delvis ^ 2 f) /) / (delvis y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Deretter avhengig av verdien av
# {: (Delta> 0, "Det er maksimum hvis" f_ (xx) <0), (, "og minst hvis" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "det er et salepunkt"), (Delta = 0, "Videre analyse er nødvendig"):} #
Ved hjelp av egendefinerte Excel-makroer, beregnes funksjonsverdiene sammen med de partielle derivatverdiene som følger:
Her er et plott av funksjonen
Og ploit med kritiske poeng (og takrenner)
Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Domenet med definisjonen av: f (x) = 2x ^ 2lnx er intervallet x i (0, + oo). Vurder den første og andre derivaten av funksjonen: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2nnx) (d2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx De kritiske punktene er løsningene av: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 og som x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) I dette punktet: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 så kritisk punkt er et lokalt minimum. Sadpunktene er løsningene av: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 og ettersom f '' (x) er monotone
Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?
Denne funksjonen har ingen stasjonære poeng (er du sikker på at f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x er den du ønsket å studere ?!). I henhold til den mest diffuste definisjonen av sadelpunkter (stasjonære punkter som ikke er extrema), søker du etter de stasjonære punktene i funksjonen i domenet D = (x, y) i RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) i RR ^ 2}. Vi kan nå omskrive uttrykket gitt for f på følgende måte: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Måten å identifisere dem er å søke etter punkter som nuller gradienten av f, som er vektoren til d
Hva er extrema og sadelpunktene for f (x, y) = 6 sin x sin y på intervallet x, y i [-pi, pi]?
![Hva er extrema og sadelpunktene for f (x, y) = 6 sin x sin y på intervallet x, y i [-pi, pi]?](https://img.go-homework.com/calculus/what-are-the-extrema-and-saddle-points-of-fxy-2x3-xy2-5x2-y2-1.jpg "Hva er extrema og sadelpunktene for f (x, y) = 6 sin x sin y på intervallet x, y i [-pi, pi]?")
X = pi / 2 og y = pi x = pi / 2 og y = -pi x = -pi / 2 og y = pi x = -pi / 2 og y = -pi x = pi og y = pi / 2 x = pi og y = -pi / 2 x = -pi og y = pi / 2 x = -pi og y = -pi / 2 For å finne de kritiske punktene i en 2-variabelfunksjon, må du beregne gradienten som er en vektor som samler derivatene med hensyn til hver variabel: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Så har vi d / dx f (x, y) = 6cos ) synd (y) og lignende d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). For å finne de kritiske punktene må gradienten være nullvektoren (0,0), som betyr å løse systemet {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) co