Svar:
#3#
Forklaring:
La
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
hvor vi begrenser løsningen vår til å være positiv siden vi bare tar den positive kvadratroten, dvs. #X> = 0 #. Squaring begge sider vi har
# X ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Hvor denne gangen begrenser vi venstre side for å være positiv, siden vi bare vil ha den positive kvadratroten, dvs.
# X ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
hvor vi har eliminert muligheten for #X <= - sqrt (7) # bruker vår første begrensning.
Igjen kvadrerer vi begge sider
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
Uttrykket i de gjentatte firkantede røttene er det opprinnelige uttrykket for # X #, derfor
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
eller
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Prøveløsninger av denne ligningen er # x = -2 # og # X = + 3 # noe som resulterer i følgende faktorisering
# (X + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Bruk den kvadratiske formelen på den tredje faktoren # (X ^ 2 + x-7) = 0 # gir oss to flere røtter:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2,19 "og" -3,19 #
De fire røttene til polynomet er derfor #-3.19…, -2, 2.19…, # og #3#. Bare en av disse verdiene tilfredsstiller vår begrensning #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #, derfor
# X = 3 #
Svar:
Annen vei
Forklaring:
Jeg liker å diskutere en vanskelig måte å få en løsning på et øyeblikk på problemet med gjentatte firkantede røtter som følgende
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
hvor # r # tilhører følgende serie
#3,7,13,21,31…………#, den generelle betegnelsen er gitt av
# M ^ 2-m + 1 # hvor # m epsilon N # og #m> 1 #
TRIKS
Hvis 1 trekkes fra det oppgitte nummeret # M ^ 2-m + 1 # det resulterende tallet blir # M ^ 2-m # som er # m (m-1) # og som er noe annet enn produktet av to påfølgende nummer og større en av disse to vil være den unike løsningen av problemet.
når r = # M ^ 2-m + 1 # faktoren av # M ^ 2-m + 1-1 # = # (M-1) m # og m er svaret
når r = 3 er faktoren av (3-1) = 2 = 1,2 og 2 svaret
når r = 7 er faktoren for (7-1) = 6 = 2,3 og 3 svaret
og så videre…….
Forklaring
tar
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Squaring begge sider
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Igjen Squaring begge sider
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
sette r = # M ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
hvis vi setter x = m i LHS i denne ligningen blir LHS
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (avbryt (m ^ 2) - avbryt (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2 m + 1-m)
# = (M-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
ligningen er fornøyd.
Derfor er m svaret
la oss sette
# x = sqrt (7 + sqrt (7- sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #
Vi kan enkelt se det
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Så la oss løse ligningen:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Dette er ikke en triviell ligning som skal løses. En av de andre som besvarte spørsmålet henviste løsningen. 3. Hvis du prøver det, vil du se det er sant.
