En sirkel har et senter som faller på linjen y = 7 / 2x +3 og går gjennom (1, 2) og (8, 1). Hva er ligningen i sirkelen?

Svar:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Forklaring:

Punkt A #(1,2)# og punkt B #(8,1)# må være den samme avstanden (en radius) fra sirkelens senter

Dette ligger på linjepunktet (L) som er alle like langt fra A og B

Formelen for å beregne avstanden (d) mellom to punkter (fra pythagorus) er # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

erstatte i det vi kjenner til punkt A og et vilkårlig punkt på L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

erstatte i det vi kjenner til punkt B og et vilkårlig punkt på L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Derfor

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Utvid parentesene

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Forenkle

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

Midtpunktet ligger på linjen #y = 7x - 30 # (settet av poeng som er like langt fra A og B)

og på linjen #y = 7x / 2 + 3 # (Gitt)

løse hvor disse to linjene krysser for å finne senterets sirkel

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

erstatte i #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Senterets sirkel er på #(66/7, 36)#

Kretsens kvadratiske radius kan nå beregnes som

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Den generelle formelen for en sirkel eller radius # R # er

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # med senteret på h, k

Vi vet nå # H #, # K # og # R ^ 2 # og kan erstatte dem i den generelle ligningen for sirkelen

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

utvide parentesene

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

og forenkle

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Ekvasjonen x ^ 2 + y ^ 2 = 25 definerer en sirkel ved opprinnelsen og radiusen av 5. Linjen y = x + 1 går gjennom sirkelen. Hva er punktet / punktene hvor linjen krysser sirkelen?

Det er to punkter av intrerseksjon: A = (- 4; -3) og B = (3; 4) For å finne ut om det er noen skjæringspunkt, må du løse system av ligninger, inkludert sirkel- og linjeekvasjoner: {(x ^ 2 + y ^ 2 = 25), (y = x + 1):} Hvis du erstatter x + 1 for y i første ligning får du: x ^ 2 + (x + 1) ^ 2 = 25 x ^ 2 + x ^ 2 + 2x + 1 = 25 2x ^ 2 + 2x-24 = 0 Du kan nå dele begge sider med 2 x ^ 2 + x-12 = 0 Delta = 1 ^ 2-4 * 1 * (- 12) Delta = 1 + 48 = 49 sqrt (Delta) = 7 x_1 = (- 1-7) / 2 = -4 x_2 = (- 1 + 7) / 2 = 3 Nå må vi erstatte beregnede verdier av x for å finne tilsvarende verdier

Poenget (4,7) ligger på sirkelen sentrert på (-3, -2), hvordan finner du ligningen i sirkelen i standardform?

(x + 3) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 130> ekvationen til en sirkel i standardform er: (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 hvor , b) er sentrum og r, radiusen I dette spørsmålet er senteret gitt, men trenger å finne r Avstanden fra sentrum til et punkt på sirkelen er radius. beregne r ved å bruke farge (blå) ("avstandsformel") som er: r = sqrt ((x_2 - x_1) ^ 2 + (y_2 - y_1) ^ 2) ved å bruke (x_1, y_1) = (-3, -2) ) farge (svart) ("og") (x_2, y_2) = (4,7) deretter r = sqrt (4 - (-3) ^ 2 + (7 - (-2) ^ 2)) = sqrt +81) = sqrt130 sirkelligning ved bruk av senter = (a, b) = (-3, -2),

Radien til den større sirkelen er dobbelt så lang som radiusen til den mindre sirkelen. Donutområdet er 75 pi. Finn radius av den mindre (indre) sirkelen.?

Den mindre radius er 5 La r = radius av den indre sirkelen. Da er radiusen til den større sirkelen 2r. Fra referansen får vi ligningen for området av et ringrom: A = pi (R ^ 2-r ^ 2) Substitutt 2r for R: A = pi ((2r) ^ 2- r ^ 2) Forenkle: A = pi ((4r ^ 2- r ^ 2) A = 3pir ^ 2 Erstatter i det angitte området: 75pi = 3pir ^ 2 Del begge sider med 3pi: 25 = r ^ 2 r = 5