Matematisk oppnå røttene av farge (hvit) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Svar:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # til #n = 0, 1, 2 #

Forklaring:

gitt:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Trigonometrisk substitusjon

Siden denne kubikk har #3# ekte nuller, vil Cardano-metoden resultere i uttrykk som involverer irreducible kube-røtter av komplekse tall. Cardanos metode er ikke feil, men det er ikke veldig vennlig, med mindre kubusrøttene har en enkel form.

Som et alternativ i slike tilfeller ville jeg velge å bruke en trigonometrisk substitusjon.

La:

#x = k cos theta #

Trikset er å velge # K # slik at det resulterende uttrykket inneholder # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Vi har:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (hvit) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (hvit) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (hvit) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # med # K = 2 #

#color (hvit) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Så:

#cos 3 theta = 1/2 #

Så:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # for et heltall # N #

Så:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # for et heltall # N #

Dette vil gi #3# forskjellige mulige verdier av #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # til #n = 0, 1, 2 #.