Beregn sum_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Svar:

Telescoping Series 1

Forklaring:

#Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt

#Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))))

Dette er en sammenbruddsserie (telescoping) serie.

Dens første sikt er

# -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Dette tilsvarer

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + sum_ (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 sum_ (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

Vis at 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), for n> 1?

Nedenfor For å vise at ulikheten er sant, bruker du matematisk induksjon 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) for n> 1 Trinn 1: Bevis sant for n = 2 LHS = 1 + 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 Siden 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, deretter LHS> RHS. Derfor er det sant for n = 2 Trinn 2: Anta sant for n = k hvor k er et heltall og k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) Trinn 3: Når n = k + 1, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) RHS = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt

Sidelengder av en akutt trekant er sqrtn, sqrt (n + 1) og sqrt (n + 2). Hvordan finner du n?

Hvis trekanten er en riktig trekant, er kvadratet på den største siden lik summen av firkantene på mindre sider. Men trekanten er akutt vinklet en. Så firkantet av den største siden er mindre enn summen av firkantene på mindre sider. Derav (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1