Svar:
Under
Forklaring:
For å vise at ulikheten er sant, bruker du matematisk induksjon
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # til #n> 1 #
Trinn 1: Bevis sant for # N = 2 #
LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #
RHS =# Sqrt2 (2-1) = sqrt2 #
Siden # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, deretter #LHS> RHS #. Derfor er det sant for # N = 2 #
Trinn 2: Anta sant for # N = k # hvor k er et heltall og # k> 1 #
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)
Trinn 3: Når # N = k + 1 #,
RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #
dvs # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
RHS
=# Sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
#> = Sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # fra (1) ved antagelse
=# Sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #
=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #
Siden #k> 1 #, deretter # -1 / sqrt (k + 1) <0 # og siden # Ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, deretter # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # så # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #
= LHS
Trinn 4: Ved bevis på matematisk induksjon er denne ulikheten sant for alle heltall # N # større enn #1#
Ulikheten som nevnt er falsk.
F.eks. For #n = 3 #:
#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (ca. 2.3) avbryt (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _
En motsetning.
