Vennligst forklar, dette er en lineær transformasjon eller ikke?

Svar:

Se nedenfor

Forklaring:

En trasformasjon #T: V til W # sies å være lineær hvis den har følgende to egenskaper:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # for hver # v_1, v_2 i V #
• #T (cv) = cT (v) # for hver #v i V # og hver skalar # C #

Vær oppmerksom på at den andre eiendommen antar det # V # er innebygd med to operasjoner av sum og skalar multiplikasjon. I vårt tilfelle er summen summen mellom polynomene, og multiplikasjonen er multiplikasjonen med ekte tall (antar jeg).

Når du avleder et polynom, senker du graden av #1#, så hvis du får et polynom av grad #4# to ganger, vil du få et polynom av grad #2#. Merk at når vi snakker om settet av alle fire grad polyinomial, betyr vi egentlig settet av alle polynomene av grad på det meste fire. Faktisk er en generisk grad fire polynom

# A_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + ^ 3 + a_3x a_4x ^ 4 #

Hvis du vil ha graden to polynomier # 3 + 6x-5x ^ 2 #, for eksempel velger du bare

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Med det som er sagt, la oss identifisere polynomial plass i graden # N # med # P_n #, og definer operatøren vår #T: P_4 til P_2 # slik at #T (f (x)) = f '' (x) #

La oss proove den første egenskapen: anta at vi har polynomene

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

og

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Dette betyr at # P_1 + p_2 # er lik

# (A_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # er det andre derivatet av dette polynomet, så det er det

# 2 (a_2 + b_2) 6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Jeg brukte to ganger kraftregelen for avledning: det andre derivatet av # X ^ n # er #N (n-1) x ^ {n-2} #)

La oss nå beregne #T (p_1) #, det vil si det andre derivatet av # P_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

På samme måte, #T (p_2) #, det vil si det andre derivatet av # P_2 #, er

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Hvis du summerer disse uttrykkene, kan du se at vi har

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

Den andre egenskapen er vist på lignende måte: gitt et polynom

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Vi har, for noen ekte tall # C #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

dets andre derivat er således

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

som igjen er det samme som databehandling #T (p) #, og multipliser alt ved # C #, dvs. #T (cp) = cT (p) #