Hva er logaritmen til et negativt tall?

Logaritmer av negative tall er ikke definert i reelle tall, på samme måte som firkantede røtter av negative tall ikke er definert i reelle tall. Hvis du forventes å finne loggen til et negativt tall, er det i de fleste tilfeller ikke nok å svare på "undefined".

Den er mulig å evaluere en, men svaret vil være et komplekst tall. (et nummer av skjemaet #a + bi #, hvor #i = sqrt (-1) #)

Hvis du er kjent med komplekse tall og føler deg komfortabel med å jobbe med dem, så les videre.

Først, la oss starte med en generell sak:

#log_b (-x) =? #

Vi vil bruke regelen om endring av base og konvertere til naturlige logaritmer, for å gjøre det enklere senere:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Noter det #ln (-x) # er det samme som #ln (-1 * x) #. Vi kan utnytte tilleggsegenskapen til logaritmer, og skille denne delen i to separate logger:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Nå er det eneste problemet å finne ut hva #ln (-1) # er. Det kan se ut som en umulig ting å evaluere først, men det er en ganske berømt ligning kjent som Eulers identitet som kan hjelpe oss.

Eulers identitet sier:

# e ^ (ipi) = -1 #

Dette resultatet kommer fra kraftserieutvidelser av sinus og cosinus. (Jeg vil ikke forklare det for dybt, men hvis du er interessert, det er en fin side her som forklarer litt mer)

For nå, la oss bare ta den naturlige loggen til begge sider av Eulers identitet:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

forenklet:

#ipi = ln (-1) #

Så nå som vi vet hva #ln (-1) # er, vi kan erstatte tilbake til vår ligning:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Nå har du en formel for å finne logger med negative tall. Så, hvis vi ønsker å evaluere noe som # log_2 10 #, kan vi bare plugge inn noen få verdier:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #