Hva er asymptotene og flyttbare diskontinuiteter, hvis noen, av f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Svar:

#f (x) # har en horisontal asymptote # Y = 0 # og en vertikal asymptote # X = 0 #

Forklaring:

gitt:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Domenet til telleren #sqrt (x) # er # 0, oo) #

• Domenet til nevnen # e ^ x - 1 # er # (- oo, oo) #

• Nevneren er null når # e ^ x = 1 #, som for ekte verdier av # X # oppstår bare når # X = 0 #

Dermed domenet til #f (x) # er # (0, oo) #

Bruke serieekspansjonen av # E ^ x #, vi har:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (hvit) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (hvit) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (hvit) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Så:

(x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (hvit) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (hvit) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (hvit) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

og:

#lx (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Så #f (x) # har en vertikal asymptote # X = 0 # og en horisontal asymptote # Y = 0 #

graf {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6,1, 13,9, -2,92, 7,08}