Bevis at funksjonen ikke har lim i x_0 = 0? + Eksempel

Svar:

Se forklaring.

Forklaring:

Ifølge Heines definisjon av en funksjonsgrense har vi:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Så for å vise at en funksjon har NEI begrense på # X_0 # vi må finne to sekvenser # {X_n} # og # {Bar (x) _N} # slik at

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _N = x_0 #

og

#lim_ {n -> + oo} f (x_n) = lim_ {n -> + oo}! f (bar (x) _N) #

I det givne eksemplet kan slike sekvenser være:

# X_n = 1 / (2 ^ n) # og #bar (x) _N = 1 / (3 ^ n) #

Begge sekvensene konvergerer til # X_0 = 0 #, men i henhold til funksjonens formel har vi:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

fordi alle elementene i # X_n # er i #1,1/2,1/4,…#

og for #bar (x) _N # vi har:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

men for alle #N> = 2 # vi har: #f (bar (x) _N) = 1 #

Så for #N -> + oo # vi har:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _N) = 1 # (**)

Begge sekvensene dekker til # X_0 = 0 #, men grensene (*) og (**) er IKKE like, så grensen #lim_ {x-> 0} f (x) # eksisterer ikke.

QED

Grensedefinisjonen finnes i Wikipedia på:

Svar:

Her er et bevis som bruker negasjonen av definisjonen av eksistensen av en grense.

Forklaring:

Kort-versjon

#f (x) # kan ikke nærme seg et enkelt nummer # L # fordi i noen nabolag av #0#, funksjonen # F # tar på verdier som avviger fra hverandre av #1#.

Så uansett hva noen foreslår # L #, det er poeng # X # nær #0#, hvor #f (x) # er minst #1/2# enhet vekk fra # L #

Lang versjon

#lim_ (xrarr0) f (x) # eksisterer hvis og bare hvis

det er et tall, # L # slik for alle #epsilon> 0 #, det er en #delta> 0 # slik at for alle # X #, # 0 <abs (x) <delta # innebærer #abs (f (x) -L) <epsilon #

Negasjonen av dette er:

#lim_ (xrarr0) f (x) # unnlater å eksistere hvis og bare hvis

for hvert tall, # L # det er en #epsilon> 0 #, slik at for alle #delta> 0 # det er en # X #, slik at # 0 <abs (x) <delta # og #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Gitt et nummer # L #, Jeg vil la #epsilon = 1/2 # (noe mindre # Epsilon # vil også fungere)

Nå gitt en positiv # Delta #, Jeg må vise at det er en # X # med # 0 <absx <delta # og #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (Husk det #epsilon = 1/2 #)

Gitt en positiv # Delta #, etter hvert # 1/2 ^ n <delta # så det er en # X_1 # med #f (x_1) = 2 #.

Det er også et element # x_2 i RR- {1, 1/2, 1/4,… } # med # 0 <x_2 <delta # og #f (x_2) = 1 #

Hvis #L <= (1/2) #, deretter #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Hvis #L> = (1/2) #, deretter #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #