Evaluer ubestemt integral: sqrt (10x-x ^ 2) dx?

Svar:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2 x ^ 2 + c #

Forklaring:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Fullfør torget, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Erstatning # U = X-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Erstatning # U = 5sin (v) # og # DU = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Forenkle, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Raffinere, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Ta ut den konstante, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Påfør dobbelvinkelformler, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Ta ut den konstante, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Integrere, Som nr 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) »+ c #

Bytte tilbake # V = arcsin (u / 5) # og # U = X-5 #

Som nr 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + avbryt (1 / 2sin) (avbryt (2arcsin) ((x-5) / 5))) »+ c #

Forenkle, Som nr 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Raffinere, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (X-5) + c #, hvor # C # er konstant for integrasjon.

Tadaa: D

Svar:

# = 1/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Forklaring:

Hva er #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Merk at domenet til funksjonen er integrert er hvor den indre kvadratiske er positiv, dvs. #x i 0, 10 #

Dette uttrykket kan integreres ved hjelp av substitusjoner. Selv om en mulig vei for integrasjon ikke umiddelbart presenterer seg selv, hvis vi konkurrerer torget, kan en trigonometrisk substitusjon utføres:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Som vi ser, er det i den klassiske trigonometriske substitusjonsformen, dvs. kvadratet av et tall minus kvadratet av en lineær # X # funksjon.

Først, for å bli kvitt den lineære, la vi #u = x-5 #, som gir # Du = dx #, så vi kan omskrive ovennevnte integral som:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Nå for den andre substitusjonen, la #u = 5sintheta #, som endrer integralet til:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (vi kan ignorere de absolutte verdisettene)

Selvfølgelig, den # Dx # hjelper ikke, så vi skiller mellomliggende ligningen for å få: #du = 5costheta d theta #, slik at integralet blir:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Nå kan vi bruke en doble vinkelformel for å gjøre integrasjon # cos ^ 2 theta # lettere:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Så blir integralet:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (ved hjelp av en dobbelvinkelformel)

Nå, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Derfor #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

Og, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #