Sirkel A har et senter på (3, 5) og et område på 78 pi. Sirkel B har et senter på (1, 2) og et område på 54 pi. Overlapper sirklene?

Svar:

Ja

Forklaring:

Først trenger vi avstanden mellom de to sentrene, som er # D = sqrt ((DeltaX) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Nå trenger vi summen av radier, siden:

#D> (r_1 + r_2); "Sirkler overlapper ikke" #

# D = (r_1 + r_2); "Sirkler bare berører" #

#D <(r_1 + r_2); "Sirkler overlapper" # #

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16,2 #

#16.2>3.61#, så sirkler overlapper.

Bevis:

graf ((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12,64}

Svar:

Disse overlapper hvis #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Vi kan hoppe over kalkulatoren og sjekke # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # eller #4(13)(54) > 11^2# som det sikkert er, så ja, overlapper.

Forklaring:

Sirkelområdet er selvsagt #pi r ^ 2 # så vi deler ut det gratis # Pi #s.

Vi har squared radii

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

og kvadrert avstand mellom sentrene

# D ^ = 2 (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

I utgangspunktet vil vi vite om # r_1 + r_2 ge d #, det vil si hvis vi kan lage en trekant av to radius og segmentet mellom sentrene.

De kvadratiske lengdene er alle fine heltall, og det er ganske vanvittig at vi alle instinktivt kommer til kalkulatoren eller datamaskinen og begynner å ta firkantede røtter.

Vi trenger ikke, men det krever litt omvei. La oss bruke Herons formel, ring området # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # hvor # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) ((a + b + c) / 2) -b) + b + c) / 2) -c) #

(A + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Det er allerede bedre enn Heron. Men vi fortsetter. Jeg hopper over et tedium.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Det er pent symmetrisk, som vi ville forvente for en arealformel. La oss gjøre det mindre symmetrisk utseende. Minnes

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

legge til, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Det er en formel for den kvadratiske delen av en trekant gitt sidens kvadratiske lengder. Når sistnevnte er rasjonelle, er det også den første.

La oss prøve det ut. Vi er fri til å tildele sidene men vi liker; for håndberegning er det best å gjøre # C # den største siden, # c ^ 2 = 78 #

# A ^ 2 = 54 #

# B ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Selv før vi beregner det mer, kan vi se at vi har en positiv # 16Q ^ 2 # så en ekte trekant med et positivt område, så overlappende sirkler.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Hvis vi hadde fått en negativ verdi, et imaginært område, er det ikke en ekte trekant, så ikke-overlappende sirkler.