Sirkel A har et senter på (6, 5) og et område på 6 pi. Sirkel B har et senter på (12, 7) og et område på 48 pi. Overlapper sirklene?

Svar:

Siden

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # og

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

Vi kan lage en ekte trekant med kvadrerte sider 48, 6 og 40, slik at disse kretsene skjærer.

Forklaring:

Hvorfor gratuitous # Pi #?

Området er #A = pi r ^ 2 # så # R ^ 2 = A / pi. # Så den første sirkelen har en radius # R_1 = sqrt {6} # og den andre # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Sentrene er #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # fra hverandre.

Så sirklene overlapper hvis #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Det er så stygg at du vil bli tilgitt for å nå for kalkulatoren. Men det er egentlig ikke nødvendig. La oss ta en omvei og se hvordan dette gjøres ved hjelp av rasjonell trigonometri. Der er vi bare opptatt av de kvadratiske lengdene, kalt quadrances.

La oss si at vi vil teste om tre kvadrater # A, B, C # er quadrances mellom tre collinear poeng, dvs. #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # eller #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # eller #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Vi skriver det som

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

kvadrering, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Squaring igjen, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Det viser seg

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

er en diskriminant for trekanter. Vi viste bare om #mathcal {A} = 0 # det betyr at vi har a degenerert trekant, dannet av tre kollinære punkter. Hvis #mathcal {A}> 0 # da har vi en ekte trekant, hver side mindre enn summen av de andre to. Hvis #mathcal {A} <0 # Vi har ikke sider som tilfredsstiller trekkens ulikhet, og vi kaller noen ganger dette imaginær trekant.

La oss vende tilbake til vårt spørsmål bevart med vår nye trekantskriminant #mathcal {A} #. Hvis sirklene krysser vi kan vi lage en trekant av de to sentrene og et kryss, slik at sidene vil ha lengder # R_1 #, # R_2 #, og avstanden mellom sentrene #(6,5)# og #(12,7)#. Vi har

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40-6-48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # så vi har en ekte trekant, dvs. overlappende sirkler.

Oh ja, for enhver trekant #mathcal {A} = 16 (tekst {område}) ^ 2. #

Sjekk: Alpha

Sirkel A har et senter på (12, 9) og et område på 25 pi. Sirkel B har et senter på (3, 1) og et område på 64 pi. Overlapper sirklene?

Ja Først må vi finne avstanden mellom sentrene til de to sirkler. Dette er fordi denne avstanden er hvor sirklene kommer til å være nærmest sammen, så hvis de overlapper det, vil det være langs denne linjen. For å finne denne avstanden kan vi bruke avstandsformelen: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Nå må vi finne radiusen til hver sirkel. Vi vet at området i en sirkel er pir ^ 2, så vi kan bruke det for å løse r. pi (r_1) ^ 2 = 25pi (r_1) ^ 2 = 25 r_1 = 5 pi (r_2) ^ 2 = 64p

Sirkel A har et senter på (3, 5) og et område på 78 pi. Sirkel B har et senter på (1, 2) og et område på 54 pi. Overlapper sirklene?

Ja Først trenger vi avstanden mellom de to sentrene, som er D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 Nå trenger vi summen av radier, siden: D> (r_1 + r_2); "Sirkler overlapper ikke" D = (r_1 + r_2); "Sirkler bare berører" D <(r_1 + r_2); "Sirkler overlapper" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16,2 16,2> 3,61, slik at sirkler overlapper. Bevis: graf ((x-3) ^ 2 + (y-

Sirkel A har et senter på (1, 5) og et område på 24 pi. Sirkel B har et senter på (8, 4) og et område på 66 pi. Overlapper sirklene?

Ja, sirklene overlapper. Avstanden fra sentrum av sirkel A til senterets sirkel B = 5sqrt2 = 7.071 Summen av deres radius er = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Gud velsigne .... Jeg håper forklaringen er nyttig ..