Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Kan du løse dette?

Svar:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Forklaring:

Vi har:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx-2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx-2 (cosx-cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx-2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x-1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

La #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Vi ser det #u = -1 # er en faktor. Ved hjelp av syntetisk divisjon får vi

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Ligningen # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # kan løses ved hjelp av kvadratisk formel.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 eller -0.309 #

Siden #cosx = u #, vi får #x = pi / 5, (3pi) / 5 # og # Pi #.

Hvor # N # er et heltall.

Grafen av # y_1 = sin ^ 4x-cos ^ 4x # og # y_2 = cos (3x) # bekrefter at løsningene er skjæringspunktene.

Forhåpentligvis hjelper dette!

Svar:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Forklaring:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, eller

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Enhetssirkel, og egenskapen til cos, gi ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

en. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Hvis k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Hvis k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Hvis k = 0 -> #x = - pi / 5 #, eller #x = (9pi) / 5 # (Co-terminal)

Hvis k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

I det lukkede intervallet 0, 2pi er svarene:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Sjekk etter kalkulator.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. Påviste

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Påviste

Svar:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # NrarrZ #

Forklaring:

# Rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# Rarr-cos2x = cos3x #

# Rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Enten #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # NrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# Rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi # # Nrarr #

Svar:

Den generelle løsningen krever ikke trippelvinkelformelen, og er

# x = 180 ^ sirk + 360 ^ sirk k # eller # x = 36 ^ sirk + 72 ^ sirk k #

for heltall # K #.

Forklaring:

Jeg liker ikke å lese andres svar før jeg selv løser et spørsmål. Men et utvalgt svar for denne ble poppet opp. Under mitt raske blikk kan jeg ikke legge merke til at det så ganske komplisert for det som ser ut til meg som et relativt enkelt spørsmål. Jeg gir det et skudd.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ sirk - 2x) = cos 3x #

Jeg har vært på Socratic i et par uker, og dette kommer frem som temaet mitt: Den generelle løsningen på #cos x = cos a # er #x = pm a + 360 ^ sirk k quad # for heltall # K. #

# 180 ^ sirk - 2x = pm 3x + 360 ^ sirk k #

# -2x pm 3x = -180 ^ sirk + 360 ^ sirk k #

Vi tar skiltene separat. Pluss først:

# x = -180 ^ sirk + 360 ^ sirk k = 180 ^ sirk + 360 ^ sirk k #

Minus neste.

# -5x = -180 ^ sirk + 360 ^ sirk k #

# x = 36 ^ sirk + 72 ^ sirk k #

Hvis du leser disse tett, tror du kanskje jeg gjør en feil med måten jeg manipulerer på # K #. Men siden # K # spenner over alle heltallene, substitusjoner som # k til -k # og # k til k + 1 # er tillatt og jeg slipper dem inn for å holde skiltene #+# når de kan være.

Kryss av:

La oss velge et par for å sjekke. Jeg er nøktern nok til å vite #cos 36 ^ sirk # er halvparten av Golden Ratio, men jeg kommer ikke til å jobbe disse ut akkurat, bare pop dem inn i Wolfram Alpha for å være sikker på.

# x = 36 ^ sirk + 72 ^ sirk = 108 ^ sirk #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #