Løse dette ved hjelp av Riemann integral?

Svar:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # eller # ca 1.302054638 … #

Forklaring:

Den nest viktigste identiteten for å løse noen form for problem med uendelig produkt er å konvertere det til et problem med uendelige summer:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

VEKTLEGGING:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Men før vi kan gjøre dette, må vi først avtale med # frac {1} {n ^ 2} i ligningen og btw la oss kalle det uendelige produkt L:

# L = lim_ {n til + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n til + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# { n {2} {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n til + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Nå kan vi konvertere dette til en uendelig sum:

# L = lim_ {n til + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n til + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

bruke logaritmegenskaper:

# L = lim_ {n til + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

Og ved hjelp av grenseegenskaper:

# L = exp lim_ {n til + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

La oss kalle den uendelige summen S:

# S = lim_ {n til + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Og husk det

# L = exp (S) #

La oss nå løse spørsmålet ditt ved å konvertere det fra en RIEMANN SUM til en DEFINITT INTEGRAL:

Husk definisjonen av en Riemann sum er:

VEKTLEGGING:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n til + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} })) * frac {ba} {n} #

La

# lim_ {n til + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n til + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Nå, la # f (x) = ln (1 + x ^ 2) og a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Således er b = 1 dvs.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Derfor,

# S = lim_ {n til + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Løs for # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

bruk integrasjon av deler:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

La # u = ln (1 + x ^ 2) og v = 1 #

Deretter bruker du kjedestyre og derivatet av naturlig logaritme for å få # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

og bruk kraftregelen for å få: # int 1dx = x #

(x + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Bruk subtraksjonsregel:

# xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Bruk kraftregelen for det første integralet og det andre integralet er standard trigonometrisk funksjon # arctan (x) # (den omvendte av tangentfunksjonen)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Og dermed, (l + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Løs nå for det bestemte integralet:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

Vi vet at anti-derivatet er # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Og dermed

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

Legg merke til at arctan (1) er 45 ° eller # frac { pi} {4} # (husk den spesielle høyre triangelen med sidelengder 1,1, # Sqrt {2} # og vinkler 45 °, 45 °, 90 °) og også # arctan (0) = 0 #

Og dermed #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

eller # ca 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Derfor er løsningen # lim_ {n til + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # eller # ca 1.302054638 … #