Hvordan integrerer du dette? dx (x²-x + 1) Jeg sitter fast på denne delen (bildet lastet opp)

Svar:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Forklaring:

Fortsetter…

La # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Ved hjelp av en antivirivativ bør det være forpliktet til minne …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Dette er en vanskelig liten integrering, og løsningen blir ikke åpenbar i begynnelsen. Siden dette er en brøkdel, kan vi prøve å vurdere bruken av partikkelteknikken, men en rask analyse viser at dette ikke er mulig siden # X ^ 2-x + 1 # er ikke faktorabel.

Vi vil prøve å få dette integrert til et skjema som vi faktisk kan integrere. Legg merke til likheten mellom # INT1 / (x ^ 2-x + 1) dx # og # INT1 / (x ^ 2 + 1) dx #; Vi vet at sistnevnte integral vurderer til # Arctanx + C #. Vi vil derfor prøve å få # X ^ 2-x + 1 # i skjemaet #k (x-a) ^ 2 + 1 #, og bruk deretter # Arctanx # regel.

Vi må fullføre torget på # X ^ 2-x + 1 #:

# X ^ 2-x + 1 #

# = X ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + 3/4 for #

# = (X-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(veldig rotete, jeg vet)

Nå som vi har det i ønsket form, kan vi fortsette som følger:

# INT1 / (x ^ 2-x + 1) dx = INT1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #