Hvordan velge to tall hvor summen av deres firkantede røtter er minimal, å vite at produktet av de to tallene er en?

Svar:

# x = y = sqrt (a) #

Forklaring:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "er minimal" #

# "Vi kunne jobbe med Lagrange-multiplisereren L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Deriving yields:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(etter multiplikasjon med x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Nå må vi fortsatt sjekke x = 0." #

# "Dette er umulig som x * y = 0 da." #

# "Så vi har den unike løsningen" #

# x = y = sqrt (a) #

Svar:

Jeg vil prøve å ta deg gjennom løsningsmetoden nedenfor.

Forklaring:

Hva søker vi etter?

To tall. La oss gi dem navn, # X # og # Y #.

Les om spørsmålet.

Vi vil gjøre summen av kvadratrøttene minimal.

Dette forteller oss to ting

(1) begge tallene er ikke-negative (for å unngå imaginaries)

(2) Vi er interessert i verdien av # Sqrtx + sqrty #

Les om spørsmålet.

Vi blir også fortalt at produktet av # X # og # Y # er #en#.

Hvem velger #en#?

Generelt, hvis en øvelse sier noe om #en# eller # B # eller # C #, vi tar dem som konstanter gitt av noen andre.

Så vi kan bli fortalt "produktet av # X # og # Y # er #11#'

eller "produktet av # X # og # Y # er #124#'.

Vi skal løse alle disse på en gang ved å si # Xy = en # for noen konstant #en#.

Så, vi vil gjøre # Sqrtx + sqrty # så lite som mulig å holde # Xy = en # for noen konstant #en#.

Dette ser ut som et optimeringsproblem, og det er en. Så jeg vil ha en funksjon av en variabel for å minimere.

# Sqrtx + sqrty # har to variabler, # X # og # Y #

# Xy = en # har også to variabler, # X # og # Y # (huske #en# er en konstant)

Så #y = a / x #

Nå ønsker vi å minimere:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Finn derivatet, deretter det kritiske nummeret og test det kritiske nummeret. Fullfør å finne # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Kritisk # Sqrta #

#f '(x) <0 # til #x <sqrta # og #f '(x)> 0 # til #x> sqrta #, så #f (sqrta) # er et minimum.

#x = sqrta # og #y = a / x = sqrta #

Svar:

# 2 rot (4) (a) #

Forklaring:

Vi vet det for #x_i> 0 # vi har

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

deretter

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # deretter

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

men # x_1x_2 = a # deretter

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #