Hvordan vurderer du integralet av int (dt) / (t-4) ^ 2 fra 1 til 5?

Svar:

Erstatning # x = t-4 #

Svaret er, hvis du faktisk er bedt om å bare finne integralet:

#-4/3#

Hvis du søker området, er det ikke så enkelt skjønt.

Forklaring:

# Int_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

Sett:

# T-4 = x #

Derfor er differensialet:

# (D (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# Dt = dx #

Og grensene:

# X_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# X_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Erstatt nå disse tre verdiene:

# Int_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

# int _ (- 3) ^ 1DX / x ^ 2 #

# int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

MERK: LES IKKE DETTE OM DU IKKE HAR BEGRAGET HVORDAN Å FINNE OMRÅDET. Selv om dette egentlig skal representere området mellom de to grensene, og siden det alltid er positivt, burde det vært positivt. Denne funksjonen er imidlertid ikke kontinuerlig på # X = 4 # så dette integralet representerer ikke området, hvis det er det du ville ha. Det er litt mer komplisert.

Svar:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Forklaring:

# tl ^^ (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

(t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

(t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / (1-2)) #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Svar:

Avhengig av hvor mye integrasjon du har lært, er det "beste" svaret enten: "integralet er ikke definert" (ennå) eller "integralen divergerer"

Forklaring:

Når vi prøver å evaluere # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, vi bør sjekke at integand er definert på intervallet som vi integrerer.

# 1 / (x-4) ^ 2 # er ikke definert på #4#, sånn er det ikke definert på hele intervallet #1,5#.

Tidlig i studien av kalkulator, definerer vi integralet ved å begynne med

"La # F # defineres på intervall # A, b #… '

Så tidlig i studien er det beste svaret det

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# er ikke definert (ennå?)

Senere utvider vi definisjonen til det som heter "feil integraler"

Disse inkluderer integraler med ubundne intervaller (# (- oo, b #, # A, oo) # og # (- oo, oo) #) og også intervaller som integandet har poeng hvor det ikke er definert.

Å (prøve) å evaluere # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, vi evaluerer de to feil integralene # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Merk at integandet fortsatt ikke er definert på disse lukket intervaller).

Metoden er å erstatte punktet der integand er udefinert av en variabel, deretter ta en grense da den variable nærmer seg nummeret.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

La oss finne integralet først:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (-3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Ser etter grensen som # Brarr4 ^ - #, vi ser at grensen ikke eksisterer. (Som # Brarr4 ^ - #, verdien av # -1 / (b-4) # øker uten bundet.)

Derfor er integralet over #1,4# eksisterer ikke så integrert over #1,5# eksisterer ikke.

Vi sier at integralet avviker.

Merk

Noen vil si: vi har nå a definisjon av integralet, skjer det bare ikke noe tall som tilfredsstiller definisjonen.