Hvis f (x) = x tan ^ -1then f (1) er hva?

Svar:

# f (1) # hvor #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Forklaring:

Jeg antar at spørsmålet er #f (1) # hvor #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Normalt vil jeg behandle # Arctan # som multivalued. Men her med den eksplisitte funksjonsnotasjonen #f (x) # Jeg vil si at vi vil ha hovedverdien til den inverse tangenten. Vinkelen med tangent 1 i den første kvadranten er # 45 ^ Krets # eller # Pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Det er slutten. Men la oss stille spørsmålet til side, og fokusere på hva #arctan t # egentlig betyr.

Jeg tenker vanligvis på #tan ^ -1 (t) # eller ekvivalent (og jeg tror bedre notering) #arctan (t) # som en multivalued uttrykk. Funksjonen arctan er egentlig ikke en funksjon, fordi det er omvendt av noe periodisk, som egentlig ikke kan ha en invers over hele domenet.

Dette er veldig forvirrende for studenter og lærere. Plutselig har vi ting som ser ut som funksjoner som egentlig ikke fungerer. De har nettopp gled inn under radaren. Nye regler er nødvendig for å håndtere dem, men de er aldri uttrykkelig oppgitt. Math begynner å bli uklar når det ikke skal.

# x = arctan t # er best tenkt på som løsningen på #tan x = t. # Det er et uendelig antall av dem, en per periode. Tangent har en periode på # Pi # så løsningene er # Pi # fra hverandre, som er hvor #pi k # kommer fra, heltall # K #.

Jeg skriver vanligvis hovedverdien til den inverse tangenten som Arctan, med en hovedstad A. Dessverre holder Socratic "korrigere" den. Jeg fudger det her:

#t = tan x # har løsninger

#x = arctan t = tekst {Arc} tekst {tan} (t) + pi k quad # for heltall # K #.