En partikkel kastes over en trekant fra den ene enden av en horisontal base og beite toppunktet faller i den andre enden av basen. Hvis alfa og beta er basen vinkler og theta er projeksjonsvinkelen, Bevis at tan theta = tan alpha + tan beta?

Gitt at en partikkel kastes med projeksjonsvinkel # Theta # over en trekant # DeltaACB # fra en av dens ender #EN# av den horisontale basen # AB # justert langs X-aksen, og det faller til slutt i den andre enden # B #av basen, beite vertexen #C (x, y) #

La # U # vær hastigheten til projeksjonen, # T # være tiden for flyturen, # R = AB # være det horisontale området og # T # Vær den tiden partikkelen tar for å nå ved C # (X, y) #

Den horisontale komponenten av projeksjonshastigheten # -> ucostheta #

Den vertikale komponenten av projeksjonshastigheten # -> usintheta #

Med tanke på bevegelse under tyngdekraften uten luftmotstand kan vi skrive

# y = usinthetat-1/2 g t ^ 2 ….. 1 #

# X = ucosthetat ………………. 2 #

kombinere 1 og 2 vi får

# y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / (u ^ 2cos ^ 2theta) #

# => y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => Farge (blå) (y / x = tantheta - ((gsec ^ 2teta) / (2u ^ 2)) x …….. 3) #

Nå i løpet av flyet # T # den vertikale forskyvningen er null

Så

# 0 = usinthetaT-1/2 g T ^ 2 #

# => T = (2usintheta) / g #

Dermed er horisontal forskyvning i løpet av flyet, dvs. området er gitt av

# R = ucosthetaxxT = ucosthetaxx (2usintheta) / g = (u ^ 2sin2theta) / g #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (g (1 + tan ^ 2teta)) #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (gsec ^ 2teta) #

# => Farge (blå) ((gsec ^ 2teta) / (2u ^ 2) = tantheta / R …… 4) #

Kombinere 3 og 4 får vi

# y / x = tantheta-1/2 xx (gx) / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => Y / x = tantheta- (xtantheta) / R #

# => Tanalpha = tantheta- (xtantheta) / R # siden #COLOR (red) (y / x = tanalpha) # fra figur

Så # Tantheta = tanalphaxx (R / (R-x)) #

# => Tantheta = tanalphaxx ((R-x + x) / (R-x)) #

# => Tantheta = tanalphaxx (1 + x / (R-x)) #

# => Tantheta = tanalpha + (xtanalpha) / (R-x) #

# => Tantheta = tanalpha + y / (R-x) # sette #COLOR (red) (xtanalpha = y) #

Til slutt har vi fra figur #COLOR (magenta) (y / (R-x) = tanbeta) #

Derfor får vi vårt nødvendige forhold

#COLOR (grønn) (tantheta = tanalpha + tanbeta) #