Finn området i den skyggefulle regionen?

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Når vi først lærer å finne områder ved integrasjon, tar vi representative rektangler vertikalt.

Rektanglene har base # Dx # (en liten endring i # X #) og høyder som er større # Y # (den på øvre kurven) minus det minste # Y # verdi (den på den nedre kurven). Vi integrerer da fra det minste # X # verdi til de største # X # verdi.

For dette nye problemet kunne vi bruke to slike intergrals (Se svaret fra Jim S), men det er veldig verdifullt å lære å vende vår tenkning #90^@#.

Vi vil ta representative rektangler horiontally.

Rektanglene har høyde # Dy # (en liten endring i # Y #) og baser lik den største # X # (den på høyre side) minus det minste # X # verdi (den på venstre kurve). Vi integrerer da fra det minste # Y # verdi til de største # Y # verdi.

Legg merke til dualiteten

# {:("vertikal", iff, "horisontal"), (dx, iff, dy), ("øvre", iff, "høyre"), ("lavere", iff, "venstre"), iff, y):} #

Uttrykket "fra det minste # X # verdi til de største # X # verdi. "indikerer at vi integrerer venstre til høyre. (I retning av å øke # X # verdier.)

Uttrykket "fra det minste # Y # verdi til de største # Y # verdi. "indikerer at vi integrerer bunnen til toppen. (I retning av å øke # Y # verdier.)

Her er et bilde av regionen med et lite rektangel angitt:

Området er

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Svar:

Arealet av den skyggelagte regionen er # 1m ^ 2 #

Forklaring:

# X = 1 / y ^ 2 #

# Y ^ 2 = 1 / x #

# Y = sqrtx / x # (vi kan se fra grafen)

# Sqrtx / x = x # #<=># # X ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# X ^ 4-x = 0 # #<=># #X (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # X = 1 # (vi kan også se fra grafen)

En av mange måter området av den skyggefulle regionen kan uttrykkes, kan være som området for trekanten # AhatOB = Ω # unntatt det cyanområdet som jeg vil ringe #COLOR (cyan) (Ω_3) #

La #Ω_1# vær det svarte området vist i grafen og #COLOR (grønn) (Ω_2) # det grønne området vist i grafen.

Området av den lille trekant # ChatAD = # #COLOR (grønn) (Ω_2) # vil være:

• #COLOR (grønn) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# Sqrtx / x = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # X = 4x ^ 2 #

#<=># # X = 1/4 #

Området av #Ω_1# vil være:

#int_ (1/4) 1 ^ (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) 1 ^ = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Som et resultat vil det skyggede området være

• #Ω_1## + Farge (grønn) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #