Hvordan løser du arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3?

Svar:

# x = sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

Forklaring:

#arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3 #

Begynn å la # alpha = arcsin (x) "" # og # "" beta = arcsin (2x) #

#COLOR (svart) alfa # og #COLOR (svart) beta # representerer egentlig bare vinkler.

Slik at vi har: # Alfa + beta = pi / 3 #

# => Sin (a) = x #

#cos (alfa) = sqrt (1-sin ^ 2 (a)) = sqrt (1-x ^ 2) #

På samme måte, #sin (beta) = 2x #

#cos (beta) = sqrt (1-sin ^ 2 (beta)) = sqrt (1- (2x) ^ 2) = sqrt (1-4x ^ 2) #

#COLOR (hvit) #

Neste, vurder

# Alfa + beta = pi / 3 #

# => Cos (alfa + beta) = cos (pi / 3) #

# => Cos (a) cos (beta) -sin (a) sin (P) = halvdel #

# => Sqrt (1-x ^ 2) * sqrt (1-4x ^ 2) - (x) * (2x) = 1/2 #

# => Sqrt (1-4x ^ 2 x ^ 2-4 x ^ 4) = 2x ^ 2 1/2 #

# => Sqrt (1-4x ^ 2 x ^ 2-4 x ^ 4) ^ 2 = 2 x ^ 2 1/2 ^ 2 #

# => 1-5x ^ 2-4 x ^ 4 = ^ 4 x 4 + 2x ^ 2 1/4 #

# => 8 x ^ 4 + 7x ^ 2-3 / 4 = 0 #

# => 32x ^ 4 + 28x ^ 2-3 = 0 #

Bruk nå kvadratisk formel i variabelen # X ^ 2 #

# => X ^ 2 = (- 28 + -sqrt (784 + 384)) / 64 = (- 28 + -sqrt (1168)) / 64 = (- 28 + -sqrt (16 * 73)) / 64 = (-7 + -sqrt (73)) / 16 #

# => X = + - SQRT ((- 7 + -sqrt (73)) / 16) #

#COLOR (hvit) #

Mislykkede tilfeller:

#color (rød) ((1) ".." ##X = + - SQRT ((- 7-sqrt (73)) / 16) #

skal avvises fordi løsningen er komplekse # inZZ #

#color (rød) ((2) ".." ## X = -sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

Avvises fordi løsningen er negativ. mens # Pi / 3 # er positiv.