Svar:
Det er faktisk fire verdier for # X / 2 # på enhetens sirkel, så fire verdier for hver trig-funksjon. Hovedverdien til halvvinkelen er rundt # 2,2 ^ Krets. #
#cos (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = cos 2.2 ^ sirk = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = synd 2.2 ^ sirk = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
#tan (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = tan 2,2 ^ sirk = sqrt (170) - 13 #
Vennligst se forklaringen til de andre.
Forklaring:
La oss snakke om svaret litt først. Det er to vinkler på enhetens sirkel hvis cotangent er #13#. Den ene er rundt # 4,4 ^ Krets #, og en annen er det pluss # 180 ^ Krets #, kall det # 184,4 ^ Krets #. Hver av disse har to halvvinkler, igjen separert av # 180 ^ Circ. # Den første har halvvinkler # 2,2 ^ Krets # og # 182,2 ^ Krets #, den andre har halvvinkler # 92,2 ^ Krets # og # 272,2 ^ Krets #, Så det er egentlig fire fire vinkler i spørsmålet, med forskjellige men relaterte verdier for trig-funksjonene.
Vi bruker de ovennevnte vinklene som tilnærminger, så vi har navn for dem.
Vinkler med cotangent på 13:
#text {Arc} tekst {cot} 13 ca 4.4 ^ sirk #
# 180 ^ sirk + tekst {Arc} tekst {cot} 13 ca 184.4 ^ sirk #
Halvvinkler:
# 1/2 tekst {Arc} tekst {cot} 13 ca 2,2 ^ sirkel #
# 1/2 (360 ^ sirk + tekst {Arc} tekst {cot} 13) ca 182.2 ^ sirkel #
# 1/2 (180 ^ sirk + tekst {Arc} tekst {cot} 13) ca 92,2 ^ sirk #
# 1/2 (360 ^ sirk + 180 ^ sirk + tekst {bok} tekst {cot} 13) ca. 272,2 ^ sirk #
OK, doble vinkelformlene for cosinus er:
#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #
så de relevante halvvinkelformlene er
#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #
#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #
Det er all foreløpig. La oss gjøre problemet.
Vi skal gjøre den lille vinkelen først, # 2,2 ^ Krets. # Vi ser resten av dem er bare flere av # 90 ^ Krets # over det, slik at vi kan få sine trig-funksjoner fra denne første vinkelen.
En cotangent på 13 er en skråning av #1/13# så tilsvarer en riktig trekant med motsatt #1#, ved siden av #13# og hypotenuse #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #
#cos (tekst {Arc} tekst {cot} 13) = cos 4.4 ^ sirk = {13} / sqrt {170} #
#sin (tekst {Arc} tekst {cot} 13) = sin 4.4 ^ sirk = {1} / sqrt {170} #
Nå bruker vi halvvinkelformlene. For vår teeny vinkel i den første kvadranten, velger vi de positive tegnene.
#cos (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = cos 2.2 ^ sirk = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ sirk))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
Vi kan forsøke å forenkle og flytte fraksjonene utenfor radikalet, men jeg skal bare forlate det her.
#sin (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = synd 2.2 ^ sirk = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ sirk))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
Tangenthalvinkelen er kvotienten til dem, men det er lettere å bruke
# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #
#tan (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = tan 2,2 ^ sirk = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt
OK, det er all den harde delen, men la oss ikke glemme de andre vinklene.
# cos 182.2 ^ sirk = - cos 2.2 ^ sirk = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin 182.2 ^ sirk = -in 2.2 ^ sirk = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
# tan 182.2 ^ sirk = tan 2,2 ^ sirk = sqrt (170) - 13 #
Nå har vi de gjenværende vinklene, som bytter sinus og cosinus, flipper skiltene. Vi vil ikke gjenta skjemaene unntatt tangent.
# cos 92.2 ^ sirk = - synd 2.2 ^ sirk #
#sin 92.2 ^ sirk = cos 2.2 ^ sirk #
# tan 92,2 ^ sirk = -1 / {tan 2,2 ^ sirk} = -13 - sqrt (170) #
# cos 272.2 ^ sirk = synd 2.2 ^ sirk #
# i 272,2 ^ sirk = - cos 2,2 ^ sirkel #
# tan 272,2 ^ sirk = tan 92,2 ^ sirk = -13 - sqrt (170) #
Puh.
Svar:
#color (indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #
#color (crimson) (tan (x / 2) = -26,0384, sin (x / 2) = + - 0,9993, cos (x / 2) = + - 0,0384 #
Forklaring:
# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #
#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #
+ cos 2x = (1 - 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #
#cot x = 1 / tan x = 13 #
#tan x = 1/13 #
#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #
# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #
# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #
#tan (x / 2) = 0,0384, -26,0384 #
# csc ^ 2x = 1 + barneseng ^ 2 x #
#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #
Men wen vet #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #
Når #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679.1684 #
#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #
#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #
#cos (x / 2) = synd (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #
Når #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #
#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #
#cos (x / 2) = synd (x / 2) / tan (x / 2) = + -0,9993 / -26.0384 = + -0.0384 #
