Hvordan finner du grensen for (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) når x nærmer seg oo?

Svar:

Gjør litt factoring og kansellering for å få #lim_ (x-> oo) (8x-14) / (sqrt (13x 49x + ^ 2)) = 8/7 #.

Forklaring:

Ved grenser for uendelig er den generelle strategien å utnytte det faktum at #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #. Normalt betyr det factoring ut en # X #, som er hva vi skal gjøre her.

Begynn med å fakturere en # X # ut av telleren og an # X ^ 2 # ut av nevnen:

# (X (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49))) #

# = (X (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) #

Problemet er nå med #sqrt (x ^ 2) #. Det tilsvarer #abs (x) #, som er en stykkevis funksjon:

#abs (x) = {(x, "for", x> 0), (- x, "for", x <0):} #

Siden dette er en grense ved positiv uendelighet (#X> 0 #), vil vi erstatte #sqrt (x ^ 2) # med # X #:

# = (X (8-14 / x)) / (xsqrt (13 / x + 49)) #

Nå kan vi avbryte # X #s:

# = (8-14 / x) / (sqrt (13 / x + 49)) #

Og endelig se hva som skjer som # X # går til # Oo #:

# = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49)) #

Fordi #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #, dette er lik:

# (8-0) / (sqrt (0 + 49)) #

# = 8 / sqrt (49) #

#=8/7#