Hvordan finner du grensen for sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) som x nærmer seg -oo?

Svar:

Gjør litt factoring å få #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Forklaring:

Når vi håndterer grenser ved uendelig, er det alltid nyttig å faktorere ut en # X #, eller en # X ^ 2 #, eller uansett kraft av # X # forenkler problemet. For denne, la oss faktorere ut en # X ^ 2 # fra telleren og an # X # fra nevnen:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x- (2-6 / x)) #

# = (Sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Her begynner det å bli interessant. Til #X> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # er positiv; imidlertid for #X <0 #, #sqrt (x ^ 2) # er negativ. I matematiske termer:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # til #X> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # til #X <0 #

Siden vi arbeider med en grense ved negativ uendelighet, #sqrt (x ^ 2) # blir # -X #:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Nå kan vi se skjønnheten i denne metoden: vi har en # 9 / x ^ 2 # og # 6 / x #, som begge vil gå til #0# som # X # går til negativ uendelighet:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #