Spørsmål # e8044

Svar:

#color (blå) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#color (blå) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

Forklaring:

Fra det gitte #int (1 / (1 + cot x)) dx #

Hvis en integand er en rasjonell funksjon av de trigonometriske funksjonene, er substitusjonen # z = tan (x / 2) #, eller tilsvarende

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # og #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # og

# Dx = (2DZ) / (1 + z ^ 2) #

Løsningen:

#int (1 / (1 + cot x)) dx #

#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #

#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #

# (2z) / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) 2DZ) / (1 + z ^ 2)) #

Forenkle

# (2z) / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) 2DZ) / (1 + z ^ 2)) #

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

På dette punktet, bruk partielle fraksjoner da integrere

(zz2 + 1) (zz2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz #

Vi gjør de partielle brekkene først

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / 2Z-1) #

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) (z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) 1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Utvid høyre side av ligningen

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# (Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Sett opp likningene

# (0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# ((A + C) * z ^ 3 + (- 2A + B + D) * z ^ 2 + (- A-2B + C) * z + (- B + D) * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Ligningene er

# A + C = 0 #

# 2a + B + D = 0 #

# -A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

Samtidig løsning resulterer i

# A = 1 # og # B = 1 # og # C = -1 # og # D = 1 #

Vi kan nå gjøre integrasjonen

(zz2 + 1) (zz2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (- z + 1) / (z ^ 2-2z-1)) dz =

# 1/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1) -1/2int (2z-2) / (z ^ 2-2z-1) dz #

# = 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# = 1/2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

Vi vil returnere den til den opprinnelige variabelen # X # ved hjelp av # z = tan (x / 2) # for det endelige svaret.

#color (blå) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#color (blå) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

hvor # K = # konstant integrering

Gud velsigne … Jeg håper forklaringen er nyttig.