Hva er integralet av (ln (xe ^ x)) / x?

Svar:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Forklaring:

Vi er gitt:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Ved hjelp av #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = Int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Ved hjelp av #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = Int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Ved hjelp av #ln (e) = 1 #:

# = Int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Splitting fraksjonen (# x / x = 1 #):

# = Int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Å skille de summerte integralene:

# = Int # #ln (x) / xdx + int dx #

Det andre integralet er ganske enkelt #x + C #, hvor # C # er en vilkårlig konstant. Det første integralet, vi bruker # U #-substitution:

La #u equiv ln (x) #, dermed #du = 1 / x dx #

Ved hjelp av # U #-substitution:

# = int udu + x + C #

Integrering (den vilkårlig konstant # C # kan absorbere den vilkårlig konstant av det første ubestemte integralet:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Bytte tilbake i form av # X #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Svar:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Forklaring:

Vi begynner med å bruke følgende logaritmeidentitet:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Ved å bruke dette til integralet får vi:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

For å vurdere gjenværende integral bruker vi integrering av deler:

(x) g (x) dx # (x) g (x) -int f '

Jeg vil la #f (x) = ln (x) # og #G '(x) = 1 / x #. Vi kan da beregne det:

#f '(x) = 1 / x # og #G (x) = ln (x) #

Vi kan da søke integrering med delformel for å få:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Siden vi har integralet på begge sider av likestegnet, kan vi løse det som en ligning:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Plugging tilbake i det opprinnelige uttrykket, får vi vårt endelige svar:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #