Kan noen hjelpe meg å forstå denne ligningen? (skriver en polarligning av en konisk)

Svar:

#r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Forklaring:

En konisk med eksentrisitet # E = 4/5 # er en ellipse.

For hvert punkt på kurven er avstanden til fokuspunktet over avstanden til directrixen # E = 4 / 5. #

Fokus på polen? Hvilken stang? La oss anta at spørsmålet betyr fokus på opprinnelsen.

La oss generalisere eksentrisiteten til # E # og direktøren til # X = k #.

Avstanden til et punkt # (X, y) # på ellipsen til fokus er

# sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

Avstanden til direktøren # X = k # er # | X-k | #.

# e = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} / | x-k | #

# e ^ 2 = {x ^ 2 + y ^ 2} / (x-k) ^ 2 #

Det er vår ellipse, det er ingen spesiell grunn til å jobbe det i standardform.

La oss gjøre det polar, # R ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 # og # x = r cos theta #

# e ^ 2 = r ^ 2 / (r cos theta-k) ^ 2 #

# e ^ 2 (r cos theta - k) ^ 2 = r ^ 2 #

# (e r cos theta - e k) ^ 2 - r ^ 2 = 0 #

# (r e cos theta + r - ek) (r e cos theta - r - ek) = 0 #

#r = {ek} / {e cos theta + 1} eller r = {ek} / {e cos theta - 1} #

Vi slipper den andre skjemaet fordi vi aldri hadde negativ # R #.

Så polarformen for en ellipse med eksentrisitet # E # og directrix # X = k # er

#r = {ek} / {e cos theta + 1} #

Det synes å være skjemaet du startet fra.

Plugging inn # e = 4/5, k = 3 #

#r = {12/5} / {4/5 cos theta + 1} #

Forenkling gir, #r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Det er ingen av de ovennevnte.