Svar:
# X = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #
Forklaring:
Siden denne kvartikken ikke har rasjonelle røtter (og jeg kan ikke bli plaget med formlene), begynner vi med å bruke Newtons metode for å tilnærme røttene:
# x ~~ -0,303 #
# x ~~ -0,618 #
# x ~~ 1,618 #
# x ~~ 3,303 #
Av disse finner vi det # x ~~ -0,618 # og # x ~~ 1,618 # skille seg ut. Vi gjenkjenner disse som det gyldne forholdet:
# X = (1 + -sqrt5) / 2 #
Vi kan også verifisere at de er røtter ved å plugge dem inn i ligningen, men du kan bare ta mitt ord om at de faktisk er røtter.
Dette betyr at følgende er en faktor av ligningen:
# (X- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #
# = ((X-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #
# = (X-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #
# = X ^ 2-x-1 #
Siden vet vi # X ^ 2-x-1 # er en faktor, vi kan bruke polynomial lang divisjon for å finne ut resten og omskrive ligningen som sådan:
# (X ^ 2-x-1) (x ^ 2-3 x-1) = 0 #
Vi har allerede funnet ut når venstrefaktoren er lik null, så vi ser nå til høyre. Vi kan løse kvadratisk ved hjelp av kvadratisk formel for å få:
# X = (3 + -sqrt13) / 2 #
