Spørsmål # 92256

Svar:

Se forklaring

Forklaring:

Bryt dette inn i to deler, for det første den indre delen:

# E ^ x #

Dette er positivt og øker for alle reelle tall og går fra 0 til # Oo # som # X # går fra # -Oo # til # Oo #

Vi har:

#arctan (u) #

Den har en rett horisontal asymptote på # Y = pi / 2 #. Kommer fra # u = 0 rarr oo #, på # U = 0 # denne funksjonen er positiv og øker over dette domenet, tar en verdi på 0 på # U = 0 #, en verdi på # Pi / 4 # på # U = 1 # og en verdi på # Pi / 2 # på # U = oo #.

Disse punktene blir derfor trukket til # X = -oo, 0, oo # henholdsvis og vi ender med en graf som ser slik ut som et resultat:

graf {arctan (e ^ x) -10, 10, -1,5, 3}

Hvilken er den positive delen av # Arctan # Funksjonen strekker seg over hele reelle linjen, med venstreverdien strekker seg inn i en horisontal asymptote på # Y = 0 #.

Svar:

Se forklaring

Forklaring:

Domene er # RR #

Symmetry

Verken med hensyn til # X # akse eller w.r.t opprinnelsen.

#arctan (e ^ (- x)) # forenkler ikke til #arctan (e ^ x) #

heller ikke # -Arctan (e ^ x) #

fanger

# X # avlyser: ingen

Vi kan ikke få #y = 0 # fordi det ville kreve # e ^ x = 0 #

Men # E ^ x # er aldri #0#, det nærmer seg bare #0# som # Xrarr-oo #.

Så, # Yrarr0 # som # Xrarr-oo # og # X # akse os en horisontal

asymptote til venstre.

# Y # avskjære: # Pi / 4 #

Når # X = 0 #, vi får #y = arctan (1) = pi / 4 #

asymptoter:

Vertikal: ingen

# Arctan # er mellom # -Pi / 2 # og # Pi / 2 # per definisjon, så går det aldri til # Oo #

Horisontal:

Venstre: # Y = 0 # som diskutert ovenfor

Ikke sant: # Y = pi / 2 #

Vi vet det, som # Thetararrpi / 2 # med #theta <pi / 2 #, vi får #tantheta rarr oo #

som # Xrarroo #, vi får # e ^ x rarroo #, så # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Første derivat

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # er aldri #0# og aldri udefinert, så det er ingen kritiske tall.

For hver # X # vi har #y '> 0 # så funksjonen øker på # (- oo, oo) #

Det er ingen lokal ekstrem.

Andre derivat

# x '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (E ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#Y '' # er aldri udefinert, og det er det #0# på # X = 0 #

Tegn på #Y '' #:

På # (- oo, 0) #, vi får # e ^ (2x) <1 # så #y ''> 0 # og grafen er konkav opp

På # (0, oo) #, vi får # e ^ (2x)> 1 # så #y '' <0 # og grafen er konkav ned

Konkaviteten endres på # X = 0 #, så bøyningspunktet er:

# (0, pi / 4) #

Sketch nå grafen