Hvorfor kan vi ikke integrere x ^ x?

Svar:

Vi har ingen regel for det.

Forklaring:

I integraler har vi standardregler. Anti-kjeden regel, anti-produkt regel, anti-power regel, og så videre. Men vi har ikke en for en funksjon som har en # X # i både basen og strømmen. Vi kan bare ta det avledede av det, men det er umulig å forsøke å integrere det på grunn av mangelen på regler det ville fungere med.

Hvis du åpner Desmos Graphing Calculator, kan du prøve å plugge inn

# int_0 ^ x a ^ ada #

og det vil grafere det helt fint. Men hvis du prøver å bruke anti-power-regelen eller anti-eksponent-regelen til å grafere mot den, vil du se at den mislykkes. Da jeg prøvde å finne den (som jeg fortsatt jobber med), var mitt første skritt å få det borte fra dette skjemaet og inn i følgende:

# Inte ^ (XLN (x)) dx #

Dette gir oss i hovedsak mulighet til å bruke regnskapsreglene litt bedre. Men selv når du bruker Integration by Parts, slipper du faktisk helt av integralet. Derfor får du ikke en funksjon for å bestemme den.

Men som alltid i Math, er det morsomt å eksperimentere.Så gå videre og prøv, men ikke for lenge eller hardt, du blir sugd inn i dette kaninhullet.

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

#y = x ^ x # kan integreres. For eksempel

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

En annen ting er å ha nå en dag, en funksjon #f (x) # som representerer i lukket form, den primitive for # X ^ x # eller med andre ord, slik at

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Hvis dette var en funksjon av vanlig bruk i tekniske og vitenskapelige problemer, ville vi sikkert ha oppfunnet et differensiert navn og symbol for å manipulere det. Som Lambert-funksjonen definert som

#W (x) = x e ^ x #

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Som Cesareo har indikert (uten å si), er det noe tvetydighet i "vi kan ikke integrere".

Funksjonen #f (x) = x ^ x # er kontinuerlig på # (0, oo) #

og på # 0, oo) # hvis vi lager #f (0) = 1 #, så la oss gjøre det. Derfor er det endelige integral

# int_a ^ b x ^ x dx # eksisterer for alle # 0 <= a <= b #

Videre forteller den grunnleggende teorem av calulus oss at funksjonen # int_0 ^ x t ^ t dt # har derivat # X ^ x # til #x> = 0 #

Det vi ikke kan gjøre er å uttrykke denne funksjonen i en fin, endelig, lukket form for algebraiske uttrykk (eller til og med godt kjent transcendentale funksjoner).

Det er mange ting i matematikk som ikke kan uttrykkes, bortsett fra i et skjema som gir suksessivt bedre tilnærminger.

For eksempel:

Tallet hvis torg er #2# kan ikke uttrykkes i desimalt eller brøkform ved bruk av et begrenset uttrykk. Så vi gir det et symbol, # Sqrt2 # og omtrentlig det til ønsket nivå av nøyaktighet.

Forholdet til omkretsen til en sirkels diameter kan ikke uttrykkes ytterst ved hjelp av en endelig algebraisk kombinasjon av hele tall, så vi gir det et navn, # Pi # og omtrentlig det til ønsket nivå av nøyaktighet.

Løsningen til # x = cosx # kan også tilnærmet til hvilken som helst ønsket grad av nøyaktighet, men kan ikke uttrykkes ytterst. Dette nummeret er kanskje ikke viktig nok til å bli gitt et navn.

Som Cesareo har sagt, hvis integralet av # X ^ x # hadde mange programmer, matematikere ville vedta et navn for det.

Men beregninger vil fortsatt kreve uendelig tilnærming.