Hva er rekkevidden av y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

La oss først vurdere domenet:

For hvilke verdier av # X # er funksjonen definert?

Telleren # (1-x) ^ (1/2) # er bare definert når # (1-x)> = 0 #. legge # X # til begge sider av dette finner du #x <= 1 #.

Vi krever også at nevneren skal være null.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # er null når #x = -1 / 2 # og når #x = -1 #.

Så domenet til funksjonen er

# {x i RR: x <= 1 og x! = -1 og x! = -1/2} #

Definere #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # på dette domenet.

La oss vurdere hvert kontinuerlig intervall i domenet separat:

I hvert tilfelle, la #epsilon> 0 # vær et lite positivt tall.

Sak (a): #x <-1 #

For store negative verdier av # X #, #f (x) # er liten og positiv.

På den andre enden av dette intervallet, hvis #x = -1 - epsilon # deretter

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # som #epsilon -> 0 #

Så for #x <-1 # rekkevidden av #f (x) # er # (0, + oo) #

Sak (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1/2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1/2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # som #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Så for # -1 / 2 <x <= 1 # rekkevidden av #f (x) # er # 0, + oo) #

Sak (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # som #epsilon -> 0 #

#f (-1/2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1/2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # som #epsilon -> 0 #

Så det interessante spørsmålet er hva som er den maksimale verdien av #f (x) # i dette intervallet. For å finne verdien av # X # for hvilket dette skjer, se etter at derivatet er null.

# D / (dx) f (x) #

# (1 x x 1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

(1 x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# (1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Dette vil være null når telleren er null, så vi vil gjerne løse:

# 1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Multiply gjennom av # 2 (1-x) ^ (1/2) # å få:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Det er:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

som har røtter # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Av disse røttene, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # faller i det aktuelle intervallet.

Erstatt dette tilbake i #f (x) # for å finne maksimalt #f (x) i dette intervallet (ca. -10).

Dette virker over komplisert for meg. Har jeg gjort noen feil?

Svar: Funksjonens rekkevidde er # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

Til #x i (-oo, -1) # #-># #y i (0, oo) #

Til #x i (-1, -0,5) # #-># #y i (-oo, -10.58) #

Til #x i (-0,5, 1) # #-># #y i 0, oo) #