Hva er asymptoten (er) og hullet (e) av f (x) = (2-e ^ (x)) / (3x-2xe ^ (x / 2))?

Svar:

Vertikale asymptoter: x = 0, #ln (9/4) #

Horiziontal Asymptoter: y = 0

Skråstilte asymptoter: Ingen

Hull: Ingen

Forklaring:

De # E ^ x # deler kan være forvirrende, men ikke bekymre deg, bare bruk samme regler.

Jeg starter med den enkle delen: De vertikale asymptotene

Å løse for de som du angir nevnen som er lik null som et tall over null, er udefinert. Så:

# 3x-2xe ^ (x / 2) = 0 #

Da faktoriserer vi en x

#X (3-2e ^ (x / 2)) = 0 #

Så en av de vertikale asymptotene er x = 0. Så hvis vi løser den neste ligningen.

# (3-2e ^ (x / 2)) = 0 # Bruk deretter algebra, isoler eksponenten: # -2e ^ (x / 2) = - 3 #

Del deretter med -2: # e ^ (x / 2) = 3/2 #

Til slutt tar vi den naturlige loggen til begge sider som et middel til å avbryte eksponenten: #ln (e ^ (x / 2)) = ln (3/2) #

Så til venstre er vi igjen # x / 2 = ln (3/2) #

Så denne siste null er #x = 2 ln (3/2) # og på grunn av eksponent loggen eiendom som sier #ln (x ^ n) = n * ln (x) #, det tilsvarer #x = ln (9/4) #

Så nå som vi har fastslått det, er resten lett. Fordi telleren ikke deler inn nevneren, kan det ikke være en skrå asymptote. Også nevneren har en større grad enn telleren. Og når du prøver å faktor nevneren, som vist ovenfor, matcher ingen av faktorene telleren

Til slutt, for å lukke har vi en horisontal asymptot av y = 0 fordi # E ^ x # funksjonen tilsvarer aldri null.

Viktige punkter:

1. # e ^ x ne 0 #