Skaff et kvadratisk polynom med følgende forhold ?? 1. summen av nuller = 1/3, produktet av nuller = 1/2

Svar:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Forklaring:

Den kvadratiske formelen er #X = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Summen av to røtter:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - b / a #

# B / a = 1/3 #

# B = a / 3 #

Produkt med to røtter:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (-b-sqrt (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4AC) / (4a ^ 2) = c / a #

# C / a = 1/2 #

# C = a / 2 #

Vi har # Ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Bevis:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# X = (2-SQRT ((- 2) ^ 2-4 (6 * 3))) / (2 * 6) = (2 + -sqrt (4-72)) / 12 = (2 + -2sqrt (17) i) / 12 = (1 + -sqrt (17) i) / 6 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 + (1-sqrt (17) i) / 6 = 2/6 = 1/3 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 * (1-sqrt (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1/2 #

Svar:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #

Forklaring:

Hvis vi har en generell kvadratisk ligning:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 iff x ^ 2 + b / ax + c / a = 0 #

Og vi betegner roten til ligningen ved # Alfa # og # Beta #, da har vi også:

# (x-alfa) (x-beta) = 0 iff x ^ 2 - (alfa + beta) x + alfa beta = 0 #

Som gir oss de godt studerte egenskapene:

# {: ("summen av røtter", = alfa + beta, = -b / a), ("produkt av røtter", = alfa beta, = c / a):}

Dermed har vi:

# {: (alfa + beta, = -b / a, = 1/3), (alpha beta, = c / a, = 1/2):} #

Så den søkte ligningen er:

# x ^ 2 - "(summen av røtter)" x + "(produkt av røtter)" = 0 #

dvs.:

# x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0 #

Og (valgfritt), for å fjerne fraksjonskoeffisientene, multipliserer vi med #6# gi:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #