Hvis 3x ^ 2-4x + 1 har nuller alpha og beta, så hvilken kvadratisk har nuller alfa ^ 2 / beta og beta ^ 2 / alpha?

Svar:

Finne # Alfa # og # Beta # først.

Forklaring:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Den venstre side faktorer, slik at vi har

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Uten tap av generalitet er røttene #alpha = 1 # og #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # og #(1/3)^2/1= 1/9#.

Et polynom med rasjonelle koeffisienter som har disse røttene er

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Hvis vi ønsker heltalskoeffisienter, multipliser med 9 for å oppnå:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Vi kan multiplisere dette ut hvis vi ønsker:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

MERK: Mer generelt kan vi skrive

#f (x) = (x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa) #

# = x ^ 2 - ((alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfabetisk)) x + alfabetisk #

Svar:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Forklaring:

Noter det:

# (x-alfa) (x-beta) = x ^ 2- (alfa + beta) x + alfa beta #

og:

# x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alfa ^ 2 beta + beta ^ 2a) x + (alfa ^ 2 beta) a) #

#color (hvit) (x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2a)) = x ^ 2- (alfa ^ 3 + beta ^ 3 / alpha beta) x + alpha beta #

#color (hvit) (x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2a)) = x ^ 2 - ((alfa + beta) ^ 3-3alfa (alfa + beta)) / beta) x + alfa beta #

I vårt eksempel, deling # 3x ^ 2-4x + 1 # av #3# vi har:

# {(alfa + beta = 4/3), (alpha beta = 1/3):} #

Så:

# (alfa + beta) ^ 3-3 alfa beta (alfa + beta)) / (alfa beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) /) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Så det ønskede polynomet kan skrives:

# X ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Multiply gjennom av #9# for å få heltallskoeffisienter:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Svar:

Foreslått løsning nedenfor;

Forklaring:

# 3x²-4x + 1 #

Merk: #en# er alfa, # B # er beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

For å danne en ligning finner vi summen og produktene til røttene..

For Sum

# (a2) / b + (b2) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Men; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Derfor;

# ((A + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Derfor erstatter vi verdiene..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / avbryt 27_9) xx (avbryt3 / 1) #

#28/9#

Derfor er summen #28/9#

For produkter

# ((A²) / b) ((b²) / a) #

# ((Ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / avbryt9_3 xx avbryt3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Derfor er produktet #1/3#

# X²- (a + b) x + ab #

# X²- (28/9) x 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Multiplisere gjennom ved #9#

Håper dette hjelper!