Hva er formelen for å finne området for en vanlig dodecagon?

Svar:

#S _ ("vanlig dodecagon") = (3 / (tan 15 ^ @)) "side" ^ 2 ~ = 11.196152 * "side" ^ 2 #

Forklaring:

Å tenke på en vanlig dodecagon som er skrevet i en sirkel, kan vi se at den er dannet av tolv uavhengige triangler hvis sider er sirkelens radius, sirkelens radius og dodekagonens side; i hver av disse trekanter er vinkelen mot dodecagonens side lik #360^@/12=30^@#; området av hver av disse trekanter er # ("Side" * "høyde) / 2 #, vi trenger bare å bestemme høyden vinkelrett på dodecagonens side for å løse problemet.

I den nevnte ensomme trekant, hvis basis er dodecagonens side og hvis like sider er sirkelens radius, hvis vinkel er motsatt til basen (# Alfa #) er lik #30^@#, det er bare en linje trukket fra toppunktet hvor sirkelens radius møtes (punkt C) som avviker vinkelrett på dodecagonens side: denne linjen halverer vinkelen # Alfa # samt definerer trekantens høyde mellom punktet C og punktet hvor basen blir avlyst (punkt M), samt deler basen i to like deler (alt fordi de to mindre trekantene som dannes så er kongruenter).

Siden de to mindre trekantene som er nevnt er de riktige, kan vi bestemme høyden på den enslige trekant på denne måten:

#tan (alfa / 2) = "motsatt kateter" / "tilstøtende kateter" => #tan (30 ^ @ / 2) = ("side" / 2) / "høyde" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Da har vi

#S_ (dodecagon) = 12 * S_ (trekant) = 12 * ("side") ("høyde")) / 2 = 6 * ("side") ("side") / (2 * tan 15 ^) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("side") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #