Hva er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

Svar:

#x i (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Forklaring:

Vi kan vie det #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # er en geometrisk serie med forhold # R = 1 / (x (1-x)) #.

Nå vet vi at den geometriske serien konvergerer når absoluttverdien av forholdet er mindre enn 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Så vi må løse denne ulikheten:

# 1 / (x (1-x)) <1 og 1 / (x (1-x))> -1 #

La oss begynne med den første:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Vi kan enkelt bevise at telleren alltid er positiv og nevnen er negetiv i intervallet #x i (-oo, 0) U (1, oo) #.

Så dette er løsningen for vår første ulikhet.

La oss se den andre:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0ff (1 + xx ^ 2) / #

Denne ulikheten har løsning på intervallet:

#x i (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Så vår serie konvergerer hvor dette til intervaller er begge sanne.

Dermed er vårt konvergensintervall:

#x i (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #