Hva er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

$Hva er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?$

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Bruk av polynomidentiteten

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

vi har for #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

da, for #x ne k pi, k i ZZ # vi har

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Vis at cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jeg er litt forvirret hvis jeg gjør Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) og cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), det blir negativt som cos (180 ° -teta) = - costheta in den andre kvadranten. Hvordan går jeg med å bevise spørsmålet?

Se nedenfor. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Hva er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Og hva er summen i x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["er konvergensintervallet for x" "x = 3 er ikke i konvergensintervallet, så summen for x = 3 er" oo "Behandle summen som det er en geometrisk serie ved å erstatte "" z = log_2 (x + 1) / (x-2)) "Da har vi" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "for" | z | <1 "Så konvergensintervallet er" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ELLER" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) " "Positiv sak:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) =>

Hva er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X i (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Vi kan vri den sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n er en geometrisk serie med forholdet r = 1 / (x (1-x)). Nå vet vi at den geometriske serien konvergerer når absoluttverdien av forholdet er mindre enn 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Så vi må løse denne ulikheten: 1 / (x (1-x)) <1 og 1 / (x (1-x))> -1 La oss begynne med den første: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Vi kan lett bevise at telleren alltid er positiv og nevneren er negetiv i intervallet x i (-oo, 0) U (1, oo). S