Hvordan finner du grensen til [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] når x nærmer seg 0?

Svar:

Utfør noen konjugatmultiplikasjon og forenkle å få #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2 x) / (1-cosx) = 0 #

Forklaring:

Direkte substitusjon produserer ubestemt form #0/0#, så vi må prøve noe annet.

Prøv å multiplisere # (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # av # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (Sinx * sin ^ 2 x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (Sinx * sin ^ 2 x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Denne teknikken er kjent som konjugatmultiplikasjon, og det fungerer nesten hver gang. Tanken er å bruke forskjellen på kvadrategenskaper # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # for å forenkle enten teller eller nevner (i dette tilfellet nevneren).

Husk det # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, eller # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Vi kan derfor erstatte nevnen, som er # 1-cos ^ 2x #, med # Sin ^ 2x #:

# ((Sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Nå # Sin ^ 2x # avbryter:

# ((Sinx) (avbryte (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (avbryte (sin ^ 2x)) #

# = (Sinx) (1 + cosx) #

Fullfør ved å ta grensen for dette uttrykket:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = Lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#