Spørsmål # 35a7e

Svar:

Som nevnt i kommentarene nedenfor, er dette MacLaurin-serien for #f (x) = cos (x) #, og vi vet at dette konvergerer på # (- oo, oo) #. Men hvis du ønsket å se prosessen:

Forklaring:

Siden vi har en factorial i nevnen, bruker vi forholdstest, siden dette gjør forenklinger litt enklere. Denne formelen er:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Hvis dette er <1, konvergerer serien din

Hvis dette er> 1, avviker serien din

Hvis dette er = 1, er testen ufattelig

Så, la oss gjøre dette:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2))) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Merk: Vær veldig forsiktig med hvordan du kobler inn (k + 1). 2k blir til 2 (k + 1), IKKE 2k + 1.

Jeg multiplisert med gjensidige av # X ^ (2k) / ((2k)!) # i stedet for å dele bare for å gjøre arbeidet litt lettere.

La oss algebra. På grunn av absoluttverdien, våre alternerende vilkår (dvs. # (- 1) ^ k #) kommer bare til å avbryte, siden vi alltid vil ha et positivt svar:

= (2k + 2) / ((2k + 2)!)) ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Vi kan avbryte vår # X ^ (2k) #'S:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) ((2k)!)

Nå må vi avbryte factorials.

Husk det # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Også, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Legge merke til:

# (2k)! = farge (rød) (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * farge (rød) (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Som du kan se, vi # (2k)! # er i hovedsak en del av # (2k + 2)! #. Vi kan bruke dette til å avbryte alle vanlige begreper:

# (2k)!) / ((2k + 2)!) = Avbryt (farge (rød) (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / (2k + 2) * (2k + 1) * Avbryt (farge (rød) (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Dette forlater

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1)))

Nå kan vi evaluere denne grensen. Merk at siden vi ikke tar denne grensen med hensyn til # X #, vi kan faktor det ut:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1)))

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Så som du kan se, denne grensen = 0, som er mindre enn 1. Nå spør vi oss selv: er det noen verdi av # X # for hvilken denne grensen ville være 1? Og svaret er nei, siden noe multiplisert med 0 er 0.

Så siden (2k + 2) / ((2k + 2)!)) ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # for alle verdier av # X #, kan vi si at den har et konvergensintervall på # (- oo, oo) #.

Håper det hjalp:)