Hva er meningen med grensen for en funksjon?

Svar:

Uttalelsen #lim_ (x a) f (x) = L # betyr: as # X # kommer nærmere #en#, #f (x) # kommer nærmere # L #.

Forklaring:

Den nøyaktige definisjonen er:

For noen ekte tall #ε>0#, finnes det et annet ekte tall #δ>0# slik at hvis # 0 <| x-en |<>, deretter # | F (x) -L |<>.

Vurder funksjonen #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Hvis vi plotter grafen, ser det slik ut:

Vi kan ikke si hva verdien er på # X = 1 #, men det ser ut som om #f (x) # tilnærminger #2# som # X # tilnærminger #1#.

La oss prøve å vise det #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Spørsmålet er hvordan kommer vi fra # 0 <| x-1 |<> til # | (X ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Vi må begynne med en viss verdi av #ε# og finn en finne en tilsvarende verdi for #δ#.

La oss begynne med

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((X + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Den andre tilstanden er

# | X-1 | <δ #

Definisjonen passer nøyaktig om #δ = ε#.

Vi har nettopp vist det for noen #ε#, det er en #δ# så det # | F (x) -2 |<> når # 0 <| x-1 |<>.

Så vi har vist det

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #

Nullene av en funksjon f (x) er 3 og 4, mens nullene av en andre funksjon g (x) er 3 og 7. Hva er null (er) for funksjonen y = f (x) / g (x )?

Bare null av y = f (x) / g (x) er 4. Som nuller av en funksjon f (x) er 3 og 4 betyr dette (x-3) og (x-4) faktorene f (x ). Videre er nuller av en andre funksjon g (x) 3 og 7, noe som betyr (x-3) og (x-7) er faktorer av f (x). Dette betyr at i funksjonen y = f (x) / g (x), selv om (x-3) skal avbrytes nevneren g (x) = 0 er ikke definert, når x = 3. Det er heller ikke definert når x = 7. Derfor har vi et hull på x = 3. og bare null av y = f (x) / g (x) er 4.

Kan du finne grensen til sekvensen eller bestemme at grensen ikke eksisterer for sekvensen {n ^ 4 / (n ^ 5 + 1)}?

Sekvensen har den samme oppførselen som n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n når n er stor. Du bør manipulere uttrykket bare litt for å gjøre setningen ovenfor klar. Del alle ordene med n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Alle disse grensene eksisterer når n-> oo, så vi har: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, slik at sekvensen har en tendens til 0

Hva er meningen med monotonisk økende funksjon?

Hvis x_0 <x_1 deretter f (x_0) <f (x_1) Betydningen er at du har en funksjon med positiv helling i hvert punkt i Dom. Fra en x_0 og gå til høyre, går grafen over funksjonen opp samtidig