Polynomien til grad 5, P (x) har ledende koeffisient 1, har røtter av multiplikasjon 2 ved x = 1 og x = 0, og en rot av multiplikasjon 1 ved x = -3, hvordan finner du en mulig formel for P (x)?

Svar:

#P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Forklaring:

Hver rot tilsvarer en lineær faktor, så vi kan skrive:

#P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 3) #

# = X ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) #

# = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Eventuelt polynom med disse nullene og minst disse multiplikasjonene vil være et flertall (skalar eller polynom) av dette #P (x) #

fotnote

Strengt sett, en verdi på # X # det resulterer i #P (x) = 0 # kalles a rot av #P (x) = 0 # eller a null av #P (x) #. Så spørsmålet burde virkelig ha snakket om nuller av #P (x) # eller om røtter av #P (x) = 0 #.

Polynomien av grad 4, P (x) har en rot av multiplikasjon 2 ved x = 3 og røtter av multiplikasjon 1 ved x = 0 og x = -3. Det går gjennom punktet (5.112). Hvordan finner du en formel for P (x)?

Et polynom av grad 4 vil ha roten form: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Erstatt i verdiene for røttene og bruk deretter poenget for å finne verdien av k. Bytt i verdiene for røttene: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Bruk punktet (5,112) for å finne verdien av k: 112 = k (5-3) (5-3) (5 - (-3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / (5) (2) 2) (8)) k = 7/10 Roten fra polynomet er: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (-3))

Polynomien til grad 5, P (x) har ledende koeffisient 1, har røtter av multiplikasjon 2 ved x = 1 og x = 0, og en rot av multiplikasjon 1 ved x = -1 Finn en mulig formel for P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Gitt at vi har en rot av multiplikasjon 2 ved x = 1, vet vi at P (x) har en faktor (x-1) ^ 2 Gitt at vi har en rot av multiplikasjon 2 ved x = 0, vet vi at P (x) har en faktor x ^ 2 Gitt at vi har en rot av multiplikasjon 1 ved x = -1, vet vi at P (x) har en faktor x + 1 Vi er gitt at P (x) er et polynom av grad 5, og vi har derfor identifisert alle fem røttene, og faktorer, slik at vi kan skrive P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Og vi kan derfor skrive P (x) = Axe ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Vi vet også at ledende koeffisient er 1 => A = 1 P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1)

Polynomien til grad 5, P (x) har ledende koeffisient 1, har røtter av multiplikasjon 2 ved x = 3 og x = 0, og en rot av multiplikasjon 1 ved x = -1?

P (x) = x ^ 5-5x ^ 4 + 3x ^ 3 + 9x ^ 2> "gitt" x = a "er en rot av et polynom da" (xa) "er en faktor av polynomet" "hvis" x = a "av multiplikasjon 2 da" (xa) ^ 2 "er en faktor av polynomet" "her" x = 0 "multiplikasjon 2" rArrx ^ 2 "er en faktor" "også" x = 3 "multiplikasjon 2" rArr (x-3) ^ 2 "er en faktor" "og" x = -1 "multiplikasjon 1" rArr (x + 1) "er en faktor" "polynomet er produktet av dets faktorer" P (x) = x ^ 2 (x-3) ^ 2 (x + 1) farge (hvit) (P (x))