Hva forteller 2. avledetesten om oppførselen til f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 ved disse kritiske tallene?

Svar:

Den andre avledede testen innebærer at det kritiske nummeret (punktet) # X = 4/7 # gir et lokalt minimum for # F # samtidig som sier ingenting om naturen av # F # ved de kritiske tallene (poeng) # X = 0,1 #.

Forklaring:

Hvis #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, sier produktregelen

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Angi dette lik null og løse for # X # impliserer at # F # har kritiske tall (poeng) på # x = 0,4 / 7,1 #.

Bruke produktregelen gir igjen:

(x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

(X-1) ^ (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# x x 2 * (x-1) * (3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x)

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Nå #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #, og #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Den andre avledetest innebærer derfor at det kritiske tallet (punkt) # X = 4/7 # gir et lokalt minimum for # F # samtidig som sier ingenting om naturen av # F # ved de kritiske tallene (poeng) # X = 0,1 #.

I virkeligheten er det kritiske nummeret (punktet) på # X = 0 # gir et lokalt maksimum for # F # (og den første avledetest er sterk nok til å innebære dette, selv om den andre avledetesten ikke ga noen informasjon) og det kritiske nummeret (punktet) ved # X = 1 # gir ingen lokal maks eller min for # F #, men et (endimensjonalt) "sadelpunkt".