Hva er grensen når t nærmer seg 0 av (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Vi bestemmer dette ved å benytte L'Hospital's Rule.

For å omskrive, sier L'Hospitals regel at når det er gitt en grense for skjemaet #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, hvor #f (a) # og #G (a) # er verdier som gir grensen ubestemt (oftest, hvis begge er 0 eller en form for), så lenge begge funksjonene er kontinuerlige og differensierbare i og i nærheten av #en,# det kan man si at

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Eller i ord, grensen for kvoten av to funksjoner er lik grensen for kvoten av deres derivater.

I eksemplet som er oppgitt, har vi #f (t) = tan (6t) # og #G (t) = sin (2t) #. Disse funksjonene er kontinuerlige og differensierbare i nærheten # t = 0, tan (0) = 0 og sin (0) = 0 #. Dermed er vår første #f (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Derfor bør vi gjøre bruk av L'Hospital's Rule. # d / dt tan (6t) = 6 sek ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. Og dermed…

(6t) 2 sin (2t) = lim_ (t> 0) (6 sek ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 sek ^ 2) / 2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Svar:

The Reqd. Lim.#=3#.

Forklaring:

Vi finner dette Grense ved hjelp av følgende Standardresultater:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Vær oppmerksom på at, #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Her, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

På samme måte, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Derfor reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.