Hvis du ruller en enkelt dør, hva er det forventede antallet ruller som kreves for å rulle hvert nummer en gang?

Svar:

# 14.7 "ruller" #

Forklaring:

#P "alle tall kastet" = 1 - P "1,2,3,4,5 eller 6 ikke kastet" #

#P "A eller B eller C eller D eller E eller F" = P A + P B + … + P F - #

#P A og B - P A og C …. + P A og B og C + … #

# "Her er dette" #

(6/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6-1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Det negative av dette er vår sannsynlighet." #

#sum n * a ^ (n-1) = sum (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) sum a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a)

# => E n = sum n * P "alle tall kastet etter n kaster" #

# = sum n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Vi må trekke en på grunn av begynnelsesbetingelsen P_1 (0)" #

# "gir en feilverdien P = 1 for n = 1." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Svar:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Forklaring:

Tenk på det som seks minispill. For hvert spill ruller vi døren til vi ruller et nummer som ikke har blitt rullet ennå - hva vi kaller en "seier". Så starter vi neste kamp.

La # X # være antall ruller som trengs for å rulle hvert nummer minst en gang (dvs. vinne alle 6 minispill), og la # X_i # være antall ruller som trengs for å "vinne" minispillnummer #Jeg# (til #Jeg# fra 1 til 6). Deretter hver # X_i # er en geometrisk tilfeldig variabel med distribusjon # "Geo" (p_i) #.

Den forventede verdien av hver geometrisk tilfeldig variabel er # 1 / p_i #.

For det første spillet, # p_1 = 6/6 # siden alle 6 utfallene er "nye". Og dermed, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

For det andre spillet er 5 av de 6 utfallene nye, så # P_2 = 5/6 #. Og dermed, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

For det tredje spillet er 4 av de 6 mulige rullene nye, så # P_3 = 4/6 #, betyr # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

Ved dette punktet kan vi se et mønster. Siden antall "vinnende" ruller minker med 1 for hvert nytt spill, sannsynligheten for å "vinne" hvert spill går ned fra #6/6# til #5/6#, deretter #4/6#, etc., noe som betyr at det forventede antall ruller per spill går fra #6/6# til #6/5#, til #6/4#, og så videre, til det siste spillet, hvor vi regner med at det skal ta 6 ruller for å få det siste nummeret.

Og dermed:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

# X (E) (X_6) + "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E"

#color (hvit) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (hvit) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (hvit) ("E" (X)) = 14.7 #