To hjørner av en liket trekant er på (1, 3) og (9, 4). Hvis trekantens område er 64, hva er lengdene på trekantens sider?

Svar:

Lengdene på trekantens sider er:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Forklaring:

Avstanden mellom to punkter # (x_1, y_1) # og # (x_2, y_2) # er gitt av avstandsformelen:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Så avstanden mellom # (x_1, y_1) = (1, 3) # og # (x_2, y_2) = (9, 4) # er:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

som er et irrasjonelt tall litt større enn #8#.

Hvis en av de andre sidene av trekanten var i samme lengde, ville det maksimalt mulige område av trekanten være:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Så det kan ikke være tilfelle. I stedet må de andre to sidene være like lange.

Gitt en trekant med sider # a = sqrt (65), b = t, c = t #, kan vi bruke Herons formel for å finne sitt område.

Herons formel forteller oss at arealet av en trekant med sider #a, b, c # og semi perimeter #s = 1/2 (a + b + c) # er gitt av:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

I vårt tilfelle er semi perimeter:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

og Herons formel forteller oss at:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (kvadrat (65) / 2)

#color (hvit) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Multipliser begge ender med #2# å få:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Square begge sider for å få:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Multipliser begge sider av #4/65# å få:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transponere og legge til #65/4# til begge sider for å få:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Ta den positive kvadratroten til begge sider for å få:

#t = sqrt (266369/260) #

Så lengdene på trekantens sider er:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternativ metode

I stedet for å bruke Herons formel kan vi begrunne som følger:

Gitt at basen av den ensomme trekant er lengde:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Området er # 64 = 1/2 "base" xx "høyde" #

Så trekantens høyde er:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Dette er lengden på den vinkelrette bisektoren av trekanten som passerer gjennom midtpunktet av basen.

Så de andre to sidene danner hypotenusene av to rettvinklede trekanter med ben #sqrt (65) / 2 # og # (128sqrt (65)) / 65 #

Så av Pythagoras er hver av disse sidene av lengde:

#sqrt (sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #