Hvordan finner du derivatet av y = Arcsin ((3x) / 4)?

Svar:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Forklaring:

Du må bruke kjedelinjen. Husk at formelen for dette er:

#f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) #

Tanken er at du tar avledet av den ytre funksjonen først, og så jobber du bare innvendig.

Før vi starter, la oss identifisere alle våre funksjoner i dette uttrykket. Vi har:

• #arcsin (x) #

• # (3x) / 4 #

#arcsin (x) # er den ytre funksjonen, så vi starter med å ta derivatet av det. Så:

# dy / dx = farge (blå) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)))

Legg merke til hvordan vi fremdeles beholder det # ((3x) / 4) # der inne. Husk at når du bruker kjedereglen, skiller du deg utenfor, men du fremdeles beholder de indre funksjonene når du skiller de ytre.

# (3x) / 4 # er vår neste ytre funksjon, så vi må også merke derivatet av det. Så:

#color (grå) (dy / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - (3x) / 4) ^ 2))) * farge (blå) (d / dx ((3x) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) * (3/4) #

Og det er slutten av kalkuleringsdelen til dette problemet! Alt som er igjen er å gjøre noen forenkling for å rydde opp dette uttrykket, og vi ender med:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Hvis du vil ha litt ekstra hjelp på kjederegelen, vil jeg oppfordre deg til å se på noen av mine videoer om emnet:

Håper det hjalp:)

Svar:

gitt: #color (blå) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (grønn) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #

Forklaring:

gitt:

#color (blå) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Funksjonssammensetning bruker en funksjon til resultatet av en annen:

Vær oppmerksom på at argument av den trigonometriske funksjonen #sin ^ (- 1) ("") # er også en funksjon.

De Kjederegel er en regel for differensiering sammensetninger av funksjoner som den vi har.

Kjederegel:

#color (rød) (dy / (dx) = (dy / (du)) * ((du) / (dx)) "" # (eller)

#color (blå) (d / (dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x #

Vi er gitt

#color (blå) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

La, #f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" og "" u = (3x) / 4 #

#COLOR (grønn) (Step.1 #

Vi vil skille mellom

#f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" # Function.1

bruker vanlig derivatresultat:

#color (brun) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

Ved hjelp av det ovennevnte resultatet kan vi skille mellom Function.1 over som

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) "" # Result.1

#COLOR (grønn) (Step.2 #

I dette trinnet vil vi skille mellom inne i funksjonen # (3x) / 4 #

# D / (dx) ((3 x) / 4) #

Trekk konstanten ut

#rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 "" #Result.2

#COLOR (grønn) (Step.3 #

Vi vil bruke de to mellomliggende resultater, Result.1 og Result.2 å fortsette.

Vi vil begynne med, #color (grønn) (d / (dx) sin ^ (- 1) (3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

Bytte tilbake #COLOR (brun) (u = ((3x) / 4) #

Deretter, #color (grønn) (d / (dx) sin ^ (- 1) (3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2/16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2))) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

#rArr (3 / avbryt 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * Avbryt 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) # #

Derfor kan vårt endelige svar skrives som

#color (grønn) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #